73a>0 とする。 2次関数 f(x)=-x+4x+1 (0≦x≦a)について
(1) f(x) の最小値 m (a) を求めよ。
(2) f(x) の最大値 M (α) を求めよ。
f(x) = -x2+4x+1= -(x-2) +5
よって,y=f(x) のグラフは,軸が直線x=2, 頂点が点(25)の上
に凸の放物線である。
(1) (ア) 0<a<4のとき
軸は区間の中央より右にあるから,f(x)
は x = 0 のとき最小となる。
軸が区間の中央より右に
あるか, 左にあるかで場
合分けをする。
よってm(a)=f(0)=1
1
O2 a
x
(イ) α = 4 のとき
y
5'
軸は区間の中央にあるから, f (x) は
x=0, 4 のとき, 最小となる。
よってm(a)=f(0)=f(4)=1
1
0
24
x
(ウ) 4 <α のとき
軸は区間の中央より左にあるから,
f(x) は x = α のとき, 最小となる。
よって
m(a)=f(a)=-α+4a +1
(ア)~(ウ)より
v
1
O 12
-a²+4a+1
区間の両端でのy座標が 3
等しくなる場合に着目す
る。
章
2次関数の最大・最小
(0 <a≦4 のとき)
m(a) =
{ ±¹³ a² + sa
a +4a+1 ( 4 <a のとき)
(2) (ア) 0<a<2のとき
軸は区間より右にあるから, f(x) は a²+4a+1
x = α のとき,最大となる。
よって
M(a)=f(a)= -°+4a+1
(イ)2 Sa のとき
19
Oa 2
最小値をとるxの値を求
めなくてよいから, 最大
値が等しい (ア)(イ) をまと
区間に軸を含むか、含ま
ないかで場合分けをする。
区間内でf(x) は増加す
るから
f(0) <f(a)
S
軸は区間内にあるから, f(x) は x=2のと
でき, 最大となる。
よって
M(a)=f(2)=5
(ア)(イ)より
M(a))
=
-°+4a+1
(0<< 2 のとき)
5
(2αのとき)
1
02
a
x
区間に軸を含むから頂
点のy座標が最大値であ
る。
