（1）〜(3)の解説をお願いします。

[1] y平面において, 直線 y = 3 は, 曲線 y=√92 +1 の漸近線であることを証明せよ. [2] 広義積分で定義される関数 I(x) = e-tqx dt (x>0) について,次の各問に答えよ. t (1) この広義積分が収束することを証明せよ. T(x+1) (2) 関数 を求めよ. T(x) 8 1 [3] 関数 f(s) = Σ について,次の各問に答えよ. n=13s (1) 極限 lim f (s) を求めよ. (2) 変数s が実数であるとき, f(s) が収束するようなsの範囲を求めよ. (3) 変数sが複素数であるとき, f(s) が絶対収束するような8の領域を複素平面上に図示せよ 11 Ir

(2)番についてです 自分は位置エネルギーと大気圧への仕事も考えてW=pΔv+MgL/2+p0ls/2 と考えたのですが、解答では位置エネルギーとか考慮していません。なぜですか？

142 熱 49 熱力学 断熱材で作られた円筒形の容器に〔mol]の 単原子分子の理想気体が入っていて、圧力と温 TOK] は大気のそれと等しい。 ピストンMの 質量は 〔kg] で滑らかに動く。はじめMはス トッパーAで止まっており、容器の底からの高 さはLQm] である。 気体定数をR [J/mol・K], 重力加速度(m/s²] とする。 (1) ヒーターのスイッチを入れて気体を加熱し たところ, 温度が T1 [K] になったときM が上に動き始めた。温度 T と気体に加えた熱量 Q1 〔J〕 を求めよ。 (2) Mはゆっくり上昇を続け高さが2.2L[m]となった。このとき の温度 T [K] を求めよ。 また,Mが動き始めてからこのときまで に気体がした仕事 W 〔J〕 と気体に加えた熱量 Q2 〔J〕 を求めよ。 ここでヒーターのスイッチを切った。 そして,外力を加えてMを ゆっくりと押し込み、元の高さL 〔m〕まで戻した。 このときの気体 の温度 T3 〔K〕 を求めよ。 また, このとき気体がされた仕事 W 〔J〕 を求めよ。 ただし、この断熱変化の過程では圧力と体積Vの間に (京都工繊大) はPV =一定の関係がある。 Base M ヒーター 10000 Cv= Level (1), (2)★ (3)★ Point & Hint (1) 前後の状態方程式と、ピストンが 動き始めるときの力のつり合いを押さ える｡ 大気圧をPo, ピストンの面積をS とでもおくとよいが,これらの文字は 答えには用いられない。 (2) なめらかに動くピストンが自由になっていると 定圧変化が起こる。 定圧変化では, 気体がする仕事 = PAVとなる。 (3) 断 熱変化では,PV=一定が成り立つ。 γは比熱比とよばれ, y=Cp/Cv ここで は単原子なので,y= =1/12/2/12/2R=7/3/3 となっている。あとは第1法則の問題。 5 h= 単原子分子気体 nRT U= 3 5 = 2R CP=R 2 ※ この3式は「単原子｣のとき LECTURE 初めの気体の状態方程式は ピストンが動き始めるときの圧力をPとすると PSL = nRT …..……② (1) そして,このときのピストンのつり合いより PS = Pos+Mg...... ③ T₁=To+ _MgL nR4 ①〜③ より 定積変化だから より (2 そして (2) Pi での定圧変化が起こる。 状態方程式より P₁S³/L=nRT₂ また, Q=nCvAT= PSL = nRTo ...... ① T₂ = ³2 T₁ = 3 (To+ MgL nR W2 = Pi4V = Pi P.(S. 3/L-SL) Q2=nCpAT = n 状態方程式より 5 2 第1法則より より 49 熱力学 nR(T₁-To) = MgL 2 2 T3= ③ -T₁ (3) 高さまで押し込んだときの圧力をP3とすると P.(S-L)* = P.(SL) P3= 3 PS を用いて. Ws = Mg AU』を調べ ( 4U2=2R(T-T)) 第1法則 4U2 = Q2+(-Wa) を用いて Qを求めることもできるが、まわりくどい｡ =1/12P.SL=1/12nRT=1/12(nRT,+MgL) ②を用いた .. T = n. 52 R (T₂ - T₁) = (nRT. + MgL) 143 ピストンが動いて も上図の状況は変 P.S わらない。 つまり, 圧力 P1 は一定 'P・SL = nRT3 ...... ⑤ - (3) ³T = (3) (T. + MgL) 'T nR 2nR (T₁-T₂) = 0 + W₁ P1 = (2)(2)-1) (nRT. + MgL)

この問題の（α+β）（β+γ）（γ+α）のところを解説のように2-γなどのように式変形せずに解くのは無理なのでしょうか？ できるなら計算過程を教えて欲しいです！ よろしくお願いします

次の 1 重要 例題 3次方程式の作成 3次方程式x2x²-x+3=0の3つの解を α, β, rとするとき, a+β, B+r, y+αを解とする3次方程式を1つ作れ。 「ゆえに 似た問題 方法をまねる ように, 解と係数の関係 を利用することを考える。 2次方程式での類似の問題 (p.80 基本例題48) と同じ a+β=A, β+y=B, y+α= C とすると, A, B, C を解とする 3次方程式は (x-A)(x-B)(x-C)=0 3次方程式の解と係数の関係から a+β+y=2, aB+By+ya=-1, aßy=-3 また x³-(A+B+C)x²+(AB+BC+CA)x-ABC=0 すなわち よって, A+B+C, AB+BC+CA, ABC の値を求めることを考える。 なお, p.74 重要例題42で考えたような, 解のおき換えも有効である(下の検討 参照)。 ここで, α+β+y=2 から (a+β)+(B+y)+(y+α)=2(a+β+y)=2･2 = 4 ① a+β=2-y, β+y=2-α, y+α=2-β よって (a+B)(B+y)+(B+y)(x+a)+(y+α)(a+b) =(2-y) (2-a)+(2-a)(2-β)+(2-β) (2-y) =4-2(y+α)+ya+4-2(α+β)+αβ+4-2(β+y)+By =12-4(a+β+y)+ab+By+ya (*) =12-4・2-1=3 (a+B) (B+y)(y+α)=(2-y) (2-a) (2-B) =8-4(a+β+y)+2(aβ+βy+ya)-aby 重要 66 =8-4・2+2・(-1)-(-3)=1 13 0~③から求める3次方程式は x³-4x²+3x-1=0 <x3-2x2-x+3 =(x-a)(x-B)(x-y) =x³-(a+B+r)x² +(aB+By+ra)x - aBr これを展開してもよいが, 計算がやや煩雑。 このへんけいせずに |107 1x³-2x²-x+3 2章 =(x-a)(x-β)(x-y) の両辺にx=2を代入して もよい｡ 11 高 次 とくセツるみるこ 解をおき換えて考える (解の変換) 解答の(*) より α+β=2-x, β+y=2-α, y+α=2-βであるから、上の例題は, 2-y, 2-α, 2-B を解とする3次方程式を求めることと同じである。 そこで, x=α, B,yに対して, x=X とおくと, x=2-Xはx32x²-x+3=0 を満たすから | X=2-y, 2-α, 2-β は, 等式 A を満たし, この等式 A が求める方程式である。 後は, X を x (2X)-2(2-X)-(2-X)+3=0 におき換え 左辺を展開して整理すると, x34x2+3x-1=0が得られる。 方 + I

青チャートII Bの複素数と方程式の質問です。黄色線の所で何故xに3を代入したんですか？

練習 3次方程式x-3x2-5=0 の3つの解を α, B, y とする。次の3つの数を解とする3次方程式を ③ 67 求めよ。 3次方程式の解と係数の関係から (1) a-1, B-1, 7-1 α+β+y=3, aβ+βy+ya=0, aβy=5 (1)(a-1)+(-1)+(y-1)=(a+β+y)-3=3-3=0 (a-1)(B-1)+(β−1)(y-1)+(y-1)(a-1) =(aB+By+ya)-2(a+β+y)+3=0-2・3+3=-3 よって ゆえに, 求める3次方程式は また, x3-3x2-5=(x-α)(x-β)(x-y) が成り立つ。 この両辺にx=1 を代入して (2) a+β+y=3から -7=(1-α)(1-β)(1-y) (a-1) (B-1) (y-1)=7 P= y+α_3-B_3 ・1. - B a+B 3-Y 3 B B Y Y Y これらを解とする 3次方程式を求めればよい。 ここで B+y= a 1 + a B x3-3x-7=0 3-α 3 a a 1 = 1 1 aB BY YO = p=(1-1)+(1-1)+(1-1)=3 (1/2+1/1/3+1/2) - 3 B =9( 218 + 3y + 10 ) −6( 12 + 1/3 + 11² ) + 3 +3 By ya B Q=9·· (2) =(1-1)-1)+(-1)(1) (1) 201 Y R=(3 − 1)( 3 − 1) ( ³ −1) – (3—a)(3—B)(3—y) aßr Y aβ+By+ya aby B+y y+α α+β a B Y = =0 = 42 . -1 5 u+B+r 3 aby 5 また, 3-3x2-5=(x-u) (x-B)(x-y) の両辺に x=3 を代入 ←(3-ω) (3-β) (3-γ) すると, -5=(3-α) (3-B) (3-y) であるから =3'-(α+B+y)・32 + (aß+βy+yu)・3 P=30-3-3, Q=9・26・0+3=12, R===-1 -uby としてもよい。 5 よって, 求める3次方程式は 42 x3+3x²+x+1=0 すなわち 5.x +15+4x+5=0 別解 x-1=X とおく と, x=X+1は -3x²-5=0 を満たす (X+1)-3(X+1)^-5=0 整理すると X3-3X-7=0 よってxー3x-7=0 ←与えられた形のままで は計算が複雑になるから、 α+β+y=3 を利用して. 文字を減らす。

写真の動滑車の糸γの張力を考えたとき力の向きか上と下のどちらになりますか？ 別問題ですが、なぜ動滑車の問題では動滑車に繋がれた糸の張力を無視するのですか？

滑車は同じF、時間で距離半分 ・も半分になる 45 力のつり合いは A T=mg Bと動滑車の一体に ついて 2T = Mog ‥.Mo=2m ... T AŤ おもりAの代わり に人が引っぱるとす mg ると, 人の出すべき 力はBの重力の半 分でよいことになる。 これが動滑車の効用だ。 TAT Y 一体化 B Mog Bと動滑車の 一体化がコツ BをMにしたときは,上の図で M Mと読みかえ.Aは上に

(3)において④よりなぜ、(1)には無かった0以上という条件が加わるのでしょうか、教えてください🙏🙏

198 130 円+=① と直線ax-y+24=0….. ② について 114 軌跡(8)･･･・線分の中点 (1) 円 ①と直線②が異なる2点で交わるとき、 の値の範囲を求めよ。 (2) が (1)で求めた範囲で働くとき、 その2 を用いて表せ。 (3) (2)の中点の軌跡を求めよ。 a+ß = - ①と②が異なる2点で交わる →①②立した2次方程式 (*)の判別式DD> 0 (①の中心と直線の距離) < ( ① の半径) 求めるものの言い換え 2次方程式(*)の2解をα, β とする 解と係数の関係 ⇒中点の座標tB 2 (2) 考えると･･･ ②次方程式 (木)から交点の座標を実際に求めて考える。 <<Action 線分の中点の軌跡は, 解と係数の関係を利用せよ (1) ①.②より,yを消去して整理すると (1 + a²)x² +4a³x+4a²-1=0 ... 3 ① ② は異なる2点で交わるから, ③ の判別式をDと すると D>0 D>0 より d</12/3.…. ④ であるから (②2) α が (1)で求めた範囲を動くと き, 円 ①と直線②の2交点の x座標は,xの2次方程式 ③の 2つの実数解である。 これらを α, β とすると, 解と 係数の関係より = (2a²)²-(1+a²) (4a²³ − 1) = − 3a² +1 -3a²+1>0 4a² 1+q² √3 3 <a< 52交点を結ぶ線分 ↑計算が繁雑 (X,Y)- 1 -1 3 Aty ぶ線分の中点の座 ① 2-1 a 0 B 1x 2 よって円と直線②の2交点の中点の座標を(X,Y) とすると a+B. 円 ①の中心と直線 ② の 距離をd, 円 ① の半径を rとして, d<r から来 めることもできるが, (2) で交点の座標を考えるか ら③を考える。 Play Back 8 参照 より 例題113 10²- <0 3 (a + √3)(a − 3) <0 a<± 1 √√3 に注意する。 √√3 としないよう <a<. くく | 2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つ の解をα, β とすると b a+β=- a C aβ= a +2b5 X - __20² 点(X,Y)は直線②上にあるから aX-Y+24-0より したがって ゆえに、求める2交点の中点の座標は 20² 2a Y=(X+2)-0 (1+a)X = -2²° (X+2)a²=-X X = -2 とすると、 (左辺)=0, (右辺)2となり不 x+2.⑦ よって, X キー2 であるから ⑥ の両辺を2乗すると ⑦ を代入すると Y2=-X (X+2) より よって ここで, ⑤ より - y²=-- 1 Y² = ²(x+2y X X+ 2(x+29² X +2X+Y*=0 (X+1)^+Y2=1 x ²=X+2 @kha²</ ⑧ ⑨ より 求める中点の 軌跡は 円 (x + 1)2 + y2 = 1の 1/2x0 部分 x=-2+140 であるから -1-1-1 -1/2<x<0- から(X+1+γ-1 y=a(x+2) 0 TI 2 解と係数の関係の利用 151+0²</25 121/2²/ よって A 2 1+²: Point 弦 (線分) の中点の軌跡を求める手順 ① 2つのグラフの式を連立して, 2次方程式をつくる。 ②共有点のx座標 α, β ①の方程式の解 I 中点をとる ③ 中点のy座標を X で表す。 X, Y以外の文字を消去 4 α, βが異なる2つの実数解であることから, X の変域を求める。 - 2 < -2 + 1 ² + ² = 1+ 50 練習 114 xy平面上に円C: (x-1)' + (y +2)^2 = 25 および直線y=" り異なる2点で交わっている。 (1) の値の範囲を求めよ。 (2) Cが1から切り取る弦 ABの中点の座標をk で表せ。 (3)の値が変化するとき, Mの軌跡を求めよ。

3次方程式の解と係数との関係の覚え方を教えてほしいです。 それか、どういう風に導出できるのか教えてください！

問)α、β、γの張力を求めよ ①なぜαが「B」の重力と同じなのでしょうか？ ②どこがつり合い、それぞれの力がどのような関係であ　るのか 教えていただきたいです。 また、滑車に対する張力が苦手なので、コツや考え方などがあれば教えていただきたいです！

(山形大+ 徳島大) をか の板 量 M んだ a A m 00000 ///// r B TITTLE 床 a B PAM #m

化学基礎の放射壊変についてです 例えばCの放射性同位体がベータ壊変するとBになったりNになったりしますが、ベータ線に種類があって中性子が増えたり減ったりするのですか？ そもそもベータ線とベータ線が出る理由が曖昧なので説明してくれるとありがたいです

1枚目の写真の問題について、2枚目の写真のところまでは理解できたのですが、この先どうすれば良いかわかりません…どなたか教えてください！

類題 19 nを整数とする。 3次式2x²+nx +6 の因数分解を x'-2x²+nz+6= (x-α) (エーβ)(x-y) とする。 a, B, y がすべて整数であるならば, α, β, y の値は小さい方から順に アイ, [ウ エである。 ここのとき 3次方程式x+px+q+r=0 の三つの解が α, β+yi, B-yi で あるならば p=オ,g=カ,r=キク] である。