問
45 はさみうちの原理 (ⅡI)
数列{an} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, …) をみたす
ものとする。 このとき,次の (1), (2),(3)を示せ .
Q₁
に対して,0<a<3
に対して, 3-an≦
(1) n=1,2,3,
(2)n=1,2,3,
(3) liman=3
精講
12100
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき,ま
ず帰納法と考えて間違いありません.
(2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」→
「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています.
(3) 44のポイントの形になっています. 臭いプンプンというところでしょう.
解 答
(1) 0<a<3 .･････① を帰納法で示す.
(i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ①は成りたつ .
(i)n=kk≧1) のとき, 0<a<3 と仮定すると, 1 <an+1<4
\n-1
=(-1) ²² (3-a₁)
:: 1<√1+ak<2=2<1+√1+ak <3
12 < ak+1 <3
よって,0<ak+1 <3 が成りたつ.
(i),(ii)より, すべての自然数nについて ① は成りたつ.
(2)an+1=1+√1+an3-an+1=2-√1+an まず、左辺に3-αn+1
をつくると
右辺にも3ーan がでて
くる
ħ2=(2−√1+an)(2+√1+an)
2+√1+an
3-a>0 だから,
(1)より 1<√1+an <23<2+√1+an<4
3-an
2+√1+an
∴. 3-
3-An
2+√1+an
==<
2+ tan
-(3-an)
-an+1 < (3—an)
3
