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I
大切
基本 例断 34 三角形の重心を表す複素数
単位円上の異なる3点A (w), B(B), C(y) と, この円上にない点H(2)につい
等式z=a+β+y が成り立つとき, Hは△ABC の垂心であることを証明せよ
[類 九州大]
基本 33
針
r-B
△ABCの垂心がHAH⊥BC, BH⊥CA
r-B
例えば、AH⊥BCを次のように, 複素数を利用して示す。
純虚数⇔
AHBC-B
+
2-α
[w が純虚数⇔ w=0 かつ w+w=0 (p.10 参照) を利用している。]
また,3点A,B,Cは単位円上にあるから
|l=|8|=|x|=1⇔ad=BB=yy=1
2-a
これとz=a+β+yから得られる z-α=β+y を用いて, ! を β, y だけの等式に直して
証明する｡
AC=AB(cos@tisine)
CHART 垂直であることの証明 ABICD⇔
解答
3点A(α), B(B), C (y) は単位円上にあるから
|a|=|B|=|x|=1 すなわち |a|=|B|=|x|=1
よって
ad=BB=xy=1
α = 0, B = 0, y=0 であるから
a = ²-1², B= y=-
a
B'
Y
A, B, C, H はすべて異なる点であるから
#X
FyY+(-1)=0
よって、7-8
z-a
2 =B + (1-B)= X=B+Y=B=Y=B₁+Y-B
BY B+Y
2-a
βty Bty
?
Y-B
B+y
+
は純虚数である。
Y
B
+
1
B
1
Y
AHLBC
Y-B.
2-α
ゆえに
AH⊥BC
27
同様にして
BHICA
したがって,Hは△ABCの垂心である。
B-a
≠0 で
Y-BB-Y
+
βty y+B
虚数
B(B)
w=
Y-B
z-a
0-90⁰025
Ac
AB=ù?
A(a)
H(z)
重要
複素数平
(1) 線分
↓ すこと
AC
AH⊥BC ⇔
とおくと,
/C(y)
■B=1/17-12/1
B'
w=0 かつ w=-w
例
指針 (1)
解
上の式で、α B.B が y.
yがαに入れ替わる。
