82 媒介変数で表された関数のグラフ
x=0 sin0
xy 平面上で媒介変数を用いて
y=1-cos0
(0≦0≦2) で表さ
れる曲線C上の点Pにおける接線が軸の正方向との角をなすとき,
(2) 点Pの座標を求めよ.
(1) Cのグラフをかけ.
精講
(1)媒介変数で表された関数の微分については64 で学びました。
ここでは,それを用いてグラフをかく練習をしましょう.最大の
ヤマは増減表のかき方です。 解答の中では,スペースの関係上,
d²y
64で求めた をそのまま(途中を省略して) 使ってあります。
dx2
(2) 直線と軸の正方向とのなす角をαとすると(ただし,一覧<<そ
の直線の傾きは tanαで表せます. (IIB ベク58)
解 答
(1)082 のとき,
注参照
d.x
dy
dy
sinė
=1-cos 0,
= sin より
de
do
dx 1-cos
d²y
また,
10
<0
64
dx2
(1-cos 0)²
よって, グラフは上に凸.
また,
dy
-= 0 とすると
dx
sin0=0 ∴. 0=π(0<0<2πより)
1-cos0 >0 だから, 増減は右表のよう
...
π
...*
2π
π ... 2π
0 0
になる.また,
I
0
dy
lim
dy.
= = lim
sin0(1+cos0 )
+ 0
dx
0-+0 dx
0-+0
1-cos20
y
10
2
=lim
1+cos
0+0 sine
=+∞
0-2π=t とおくと, 0 2-0 のとき,t-0
50 (5)
dy
lim
0-2-0 dx
sin (2n+t)
=lim
to 1-cos (2+t)
I
>
0
