例題127
2"
すべての自然数nに対して、 +1 が成り立つことを証明せよ。
1 1/2 ² 1/2+1
k=1k
無限級数 1+
13
1
H
数学的帰納法によって証明する。
22" とすると
2/1/27/2+1
n=1のとき
11/13 +…………+
このとき
+
k=1
(1)
は 0 に収束するから,か.201 基本例題 117 のように, p.199 基本事項 ② ②
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
ここで,m→∞ のときn→∞となる。
n 1
k=1k
2m
1
+ ······ は発散することを証明せよ。
n
1
k=1k
① とする。
21-1+1-1+1
=1+₁ =
2m+1
51-5+1
2 2 ² 2 = 2 2 ² 2 + 1 €
2m+1
k
k=1 k
ることの証明
k
VIJI
k=1 k
mm は自然数)のとき, ① が成り立つと仮定すると 2011/16+1
m
k=2m+1
1
2m+1
.2m=
00000
基本 117, 重要 126
m+1
2
よって, ①は成り立つ。
2 (+1)+2+1+2+2++200
1
1
m
+.
= ²² +1+2+1 +2° +2 +2° +2
2m+2m_
2
2m+2
2m
-+1
m
+1+
2
よって,n=m+1のときにも ①は成り立つ。
[1] [2] から すべての自然数nについて ① は成り立つ。
2m
IM
*********
1|k
k=1 k
All
12m+1=2m.2=2m +2m
_________1_
->
2m+k2m+2m
(k=1, 2,
(=2+₁)
......, 2m-1)
CIX
2™ 1 ≥ m +1
213
4章
15
無限級数
