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に利用する。
分け。
分け。
1
2
O
YA
2 12 解答 (2) f(f(x))=
-10 12
2----
1
10
-2
1
重要 例題 71 定義域によって式が異なる関数
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
き,次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f() BO (2) y=f()) D
こき,nを実
xx<n+1**
号であり、
(1) グラフは図 (1) のようになるay
2f(x)
指針 定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxにf(x) を代入した式で,
0≦f(x) <2のとき 2f(x),
2≦f(x) 4のとき 8-2f(x)
(1) のグラフにおいて, f(x)<2となるxの範囲と, 2f(x) ≦4となるxの範囲
を見極めて場合分けをする。
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき
1≦x<2のとき
(0≤ f(x) <2)
8-2f(x) (2≤ f(x) ≤4)
2≦x≦3のとき
4
A=20
=4x-8
3<x≦4のとき f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)
=16-4x
よって, グラフは図 (2) のようになる。
(2)
ya
YA
I
f(x)=
f(f(x))=2f(x)=2.2x=4xしている
人の役割
f(f(x))=8-2f(x)=8-2.2x
=8-4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)
0 1 2 3 4 x
2012 3 4
[参考] (2)のグラフは, 式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1] f(x) が2未満なら2倍する。
[2] f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右の図で、黒の太線・細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x)とf(x) の
合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学ⅢIで学ぶ)。
練習 関数f(x) ( 0≦x<1) を右のように定義するとき,
④ 71 次の関数のグラフをかけ。
(1) _y=f(x)
(2) y=f(f(x))
(0≤x<2)
8-2x(2≦x≦4)
x
2x
変域ごとにグラフをかく。
(1) のグラフから, f(x)
の変域は
0≦x<1のとき
--------
0≤ f(x) <2
1≦x≦3のとき
2≤ f(x) ≤4
3<x≦4のとき
0≦f(x)<2
また, 1≦x≦3のとき,
f(x) の式は
1≦x<2なら
f(x)=2x
2≦x≦3なら
f(x)=8-2x
のように、 2を境にして
式が異なるため, (2) は左
の解答のような合計4通
りの場合分けが必要に
なってくる。
f(x)={
YA
8から2倍を
引く
M
2
4 x
2倍する
4
O
2x
2x-1
(0≦x</1/2)
(1/2≦x<1)
3章
3
8 関数とグラフ
