次の式の展開式における,[]内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x+2y+3z) [x°yz]
[武蔵大]
(1+x+x2)[x]
[愛知学院大 ]
P.16 基本事項
指針 二項定理を2回用いる方針でも求められるが,多項定理を利用して求めてみよう。
解答
n!
(a+b+c)" の展開式の一般項は p!q!r! a'b'c', p+q+r=n
(2)上の一般項において, α=1, b=x, c=x2 とおく。 このとき,指数法則により
1.xq(x2)'=x9+2r である。 g+2r=4となる0以上の整数 (p, g, r) を求める。
(1) (x+2y+3z) の展開式の一般項は
4!
4!
pigirix (2y)(3z)=(piair! 20.3)xyz
ただしp+q+r=4, p≧0,g,r
(a+b+c)の一般項は
4!
p!q!r! a'b'c'
(p+gtr=4, p≧0,
q≥0, r≥0)
を
これら
xyz の項は,p=2, g=1,r=1のときであるから
4!
・2・3=72
2!1!1!
別解 {(x+2y) +3z} の展開式において, zを含む項は
C(x+2y) •3z=12(x+2y) z
また, (x+2y) の展開式において,xy を含む項は
Cx2.2y=6x2y
よって, xyz の項の係数は
12×6=72
(2) (1+x+x2)の展開式の一般項は
二項定理を2回用いる方
針。 まず(+32) の展
開式に着目する
二項定理
8!
8!
1.x(x2)=
p!g!r!
*x9+2+
<(cm)=am
p!q!r!
ただし p+g+r=8
①, p≥0, q≥ ≥
dp, g, rは負でない整数。
******
p=r+4
4-2r≥0
******
③
②①に代入すると
p+4-2r+r=8
xの項は, g+2r=4 すなわち g=4-2r
のときであり, ① ② から
ここで,②g≧0 から
rは0以上の整数であるから
②③から r=0 のとき
r=1のとき p=5g=2
よって, 求める係数は
8!
r=0, 1, 2
p=4,g=4
r=2のとき p=6,g=0
44-27205 r≤2
8!
8!
+
=70+168+28=266
4!4!0!
5!2!1! 6!0!2!
40!=1
