円周率に関して,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 ただし,
解答
3√6-3√2<x<24-12√3
各辺の差を考える方法では証明できそうにない。 そこで,各辺に同じ数を掛けたり、
指針
各辺を同じ数で割ることを考えてみる。
各辺を12で割ると
は p.243 基本
例題150 (1) で求めた sin 15° の値であることをヒントに、下の解答のような, 中心角
が12の扇形に注目した、図形の面積比較が浮上する。
ゆえに
よって
22
T
点0 を中心とする半径1の円において、中心角が
の扇形OAB を考える。(1)
12
点Aにおける円の接線と直線 OB の交点をCとすると,
面積について
ここで
ゆえに
12
sin
△OAB <扇形 OAB < △OAC
1/13.12.sin 1/11/1.12.1/72 1
・12. -<.
2
π
12
√6-√² <1/12<2-√3
4
π
Totan
12
√6-√2
4
π
12
tan-tan (4-5)=
6
π
tan
π
4
tan
π
4
ここで,
π
-tan-
6
π
128
=
√6-√2
加法定理
π
sin =sin(-4)=sin cos-cos sin√6-√2 Te
12
6
6
4
π
4
1
√3
[大分大]
基本150
π
12
π
1+tan Stan 1+1- 1/3
4 6
√3
=
B
■扇形の面積がを含む数
になることも、面積比較の
方法が有効な理由の1つ。
tan
√3-1
√3+1
A
π
12
=2-√3
1/3+1=2-13
π
<
1 <2-√3 すなわち 3√6-3√2<x<24-12√3
12
800-0$ nia #3.106
30 3.215
4章
23 加法定理の応用
25
