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とにかく文
がらくになるよう
とする。
平方の定理
数の変域を確認
■柱の体積)
底面積)×(高さ)
をVで表す。
0.は変域に含ま
ないから、茨城の
に対するVの値は
今後、本書の
2/
の方針で書く。
2x(a²-
基本例題213 係数に文字を含む3次関数の最大・最小
aを正の定数とする。3次関数f(x)=x-2ax+αx 0≦x≦1における最大
値M (α) を求めよ。
[類 立命館大] 基本 211
重要 214
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題211 と同じ要領で, 極値と区間の端
での関数の値を比べて最大値を決定する。
(s)
f(x)の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のようにな
る(原点を通る)。ここで, x=1/3以外にf(x)=f(1/3)を満たす
(これをとする) があることに注意が必要。
よって、1/3 ( 1 <a) 区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場
a
<α
3
合分けを行う。
解答
f'(x)=3x²-4ax+a²
=(3x-a)(x-a)
f'(x)=0 とすると
x=
a
3
ゆえに
"
ここで, x=1/3以外にf(x)=
4
a>0であるから, f(x) の増減表f(x)
は右のようになる。
練習
1213
a
x
(*)
4
f'(x) +
3
1≦a≦3のとき
430
a
|極大]
4
5a³
27
を満たすxの値を求めると
4
f(x)=27a²³5x³-2ax² + a²x=27a²=0
αから
a
|=0 x=1/04 であるから
(x - ²)²(x - 3/3-a)=
したがって、f(x) の 0≦x≦1における最大値 M (α) は
[1] 1</03 すなわちa>3のとき
te
3
[2] 1/23 215/1/31 すなわち of sa≦3のとき
[3] 0</1/23a <1 すなわち0<a<2のとき
以上から0<a<2,3<a のとき
1:
aは正の定数とする。 関数f(x)=-
ける最小値m(a) を求めよ。
a
0
極小
3
+:
x=-
x3 3
3
M(a)=f(1)
M(a)=a²-2a+1
M(a)= 24/7a²³
phi
M(a)=)
M(a)=f(1)
a
5+2ax²-2a²x
f(x)=x(x2-2ax+α²)
=x(x-a)^ から
O
(3)= (-3/a)² = 27ª²
[1] YA
[2] y
Q3
O
YA
[3] y
α3
-a²-2a+1
I -最大
II
1 a
3
3
a ax
1 a
a²-2a+1
O a
3
注意 (*) 曲線 y=f(x)と直線y=27d" は、x=1/3の点において接するから、f(x)は
(x-)-
で割り切れる。このことを利用して因数分解している。
最大!
a 4
a
x
ax²-2ax+αの区間 0≦x≦2にお
p.344 EX 138
331
6章
3 最大値・最小値、方程式・不等式
37
