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基本例題 88 複利計算と等比数
毎年度初めにα円ずつ積み立てると, n年度末には元利合計はいくらになる
類 中央大)
か。 年利率をr, 1年ごとの複利で計算せよ。
p.467 基本事項、基本86)
TS=2 E
CHARTO SOLUTION
nの問題n=1,2,3, ······で調べてn化 (一般化)
「1年ごとの複利で計算」とは,1年ごとに利息を元金に繰り入れて利息を計算
することをいい, この計算方法を複利計算という。
なお、1年度末の元利合計は,次のように計算される。
(元利合計)=(元金)+(元金)×(年利率)=(元金) ×(1+年利率)
この例題を n=3 として考えてみると、各年度初めに積み立てるα円について、
それぞれ別々に元利合計を計算し、最後に総計を求めることにする。
2 年度末
3 年度末
1年度末
a(1+r)3
↑
a(1+r)²
α円積み立て
↑
円積み立て
↑
円積み立て
=I
上の図から,3年度末には α(1+r)+α(1+r)+α(1+r) 円 になる。
30=₂2 DE=12
← α円は
a(1+r)
解答
1年後に α (1+r)円,
各年度初めの元金は、1年ごとに利息がついて (1+r) 倍とな
る。よって,第1年度初めのα円は第n年度末には α(1+r)"
円,第2年度初めのα円は第n 年度末には α(1+r)^-1 円,
2年後にα(1+r)^2 円,
n年後に α (1+r)^
......
となる。
円になる。
ゆえに、求める元利合計 Sは,これらすべての和で
S=a(1+r)"+α(1+r)^-'+......+α(1+r)
(円)
◆α(1+r) を初項,
これは,初項 α(1+r), 公比 1+r, 項数nの等比数列の和であα(1+r)”を末項とする
るから, 求める元利合計は
s=a(1+r){(1+r)"-1} ___a(1+r){(1+r)"-1}
(1+r)-1
(円)
r
40-20-184
PRACTICE ... 88③ (1) 年利率5%の1年ごとの複利で
