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EX
EX
X3
⑤ 122
負でない実数aに対し, 0≦x<1で, a-r が整数となる実数r を {a} で表す。 すなわち, {a}は、
αの小数部分を表す。
(1){nlog10 2} < 0.02 となる正の整数nを1つ求めよ。
(2)10進法による表示で2”の最高位の数字が7となる正の整数nを1つ求めよ。ただし、
0.3010 <log102<0.3011, 0.8450<log107 < 0.8451である。
10倍
(1) 0.3010<log102 <0.3011 から 3.0101010gio2 <3.011
log102<3.011010
1010gio2 の整数部分は3で,その小数部分は 1010g102-3
ゆえに
すなわち
3.010-3<1010g102-3<3.011-3
0.010 <{10log102} <0.011 <0.02
よって,{nlog102} < 0.02 となる正の整数nは
n=10
(2) 2” の最高位の数字が7であるとき を正の整数として
X3
IST
2015
7・10m≦2"<8・10m
←700.0≦2"≦799...9
0001<'S
各辺の常用対数をとって
log10 (7.10m)≦log102" <10g10 (8・10")
m個
m個
00011
01-4
ゆえに
m+10g107≦nlog102 <m+log10 8
ここで, 0.8450 <10g107 < 0.8451であり,
J
よって
0.8451 {nlog102} < 0.9030
(*)
実験
10g10 8 = 310g102 から 0.9030 <10g108 < 0.9033
を満たす正の整数nを見つければよい。 数を組み合わせて極限まで近つける
1.8060 <610g10 2 <1.8066 から 0.8060 <{610g1o2}<0.8066
0.8060 +0.010×4<{4610g102}<0.8066+0.011×4
(1) より, 0.010<{1010g102}< 0.011 であるから
9
.8066+
ゆえに 0.8460<{4610g102}< 0.8506
よって, n=46のとき, 0.8451 <{nlog102}<0.9030 を満たす。
n=46
したがって 求める正の整数nは
注意 n=56のとき 0.8560 <{5610g102}<0.8616
01
よって, n=56も(*) を満たすから,これを答えとしてもよい。
←610g 102の小数部分が,
(*)の範囲に近いので,
これを利用することを考
える。
