第1講 確率と漸化式
1 図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り,部屋 P, Q
を定める。 1つの球が部屋Pを出発し, 1秒ごとに,そのままそ
の部屋にとどまることなく, 辺を共有する隣の部屋に等確率で
移動する. 球がn 秒後に部屋 Q にある確率を求めよ.
P
Q
《12 東大理科文科》
【著】3(金)
11-
(nが偶数のとき)
(nが奇数のとき)
【解説】 右図の様に P と Q 以外の部屋を定める.
最初に球はPの部屋にあることより, nが奇数のときには球はP,Q,
R以外の部屋にあり, nが偶数のときには球はP,Q,R のどこかの部屋
にある.
以下を偶数とする.
m+2秒後にQ の部屋に球があるのは
1
(I) m秒後にPにあり,確率
3
でAに移動して、確率 1/12
で Q に移動する.
1
(II)
m秒後にQにあり,確率
でAに移動して、確率 1/12 でQに移動する。
3
1
(III)
m秒後にQにあり,確率
でBに移動して,確率1でQ に移動する.
3
1
A
R
Q
B
(IV) m秒後にQにあり,確率 でCに移動して、確率 1/2でQに移動する。
3
(V) m秒後にRにあり、確率 1/3でCに移動して、確率 1/1 -で Q に移動する.
の5つの場合だけ考えればよいので, n秒後にP,Q,R にある確率をそれぞれ Pn, Qn, Rn
とすると,
Qmtz=Pmx/1/31/1/2+Qmx1/2×1/28+Qmx/3×1+Q×1/2×1/2+Rmx/1/3×1/2
6
Qmtz=2/12 (Pa+Rm)+/Qm
2
3
が成り立つ。ここでPm+Qm+Rm=1よりPm+Rm=1-Qm を代入すると
Qm+2=1/03(1-Qm)+/30m
6
⇔
Qm+2=
Qm + 2 == 1 | Qm + 1/14
2
6
⇔
Qm
Qm+2-
+ 2 − 1 = 1 ½ (Qm −1 ) ---①
dm
-
3 2
となり,最初球がPにあることよりQ = 0 と定めることができるので,Q=0と① より
Q2n = {1-(2)"}
