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したがって, 求める接線の方程式は, ①に代入すると
y = 0, y = 8x-12,y=
1
3
16
x-
9
32
とおくと
2
(3)ー=
-
･･･ ②の実数解の個数は y=x-x.③の
2±√2
6
グラフと直線y=d(x-2)…･･ ④ の共有点の個数に一致する。
④は点
点 (1/2, 0)を通り,
2-√2
6
グラフより ③と④が接するとき ③と④
傾きの直線である。
は接点以外の共有点を1つもつから, 方程式
11/12 のとき,(1-3k)
最大値が
であるから
2
Ok≦
k =
1±
1
4
1
(2)土
=
0<k≦ より k =
4
=
<k<1 のとき, 4 1/12 とおくと
8k-1=0
(2k 1)(4k²+2k+1)=0
kは実数であるから k =
1
2
これは 1/24
<k<1を満たしている。
2-√2
1
したがって, 最大値が となるkの値は k=
2
6
2
②は異なる2つの実数解をもつ。
したがって, 求めるαの値は
a=0,
3
16'
8
227 3つの実数a, b, c (as b≦c) が a+b+c=-1, ab+be+ca=-5 を満たす。 次の値の
とり得る範囲を求めよ。
226 (1) 関数 y=xxのグラフをかけ。
(2)曲線 y=xxの接線で,点 (12,0)を通るものをすべて求めよ。
(3)の3次方程式 ー=d(x-2) の異なる実数解の個数が2個であるような定数aの値
を求めよ。
(1) y'=3x²-2x=x(3x-2)
abc を解とする3次方程式を作る。
(1) abc
(2)
a
(1) abc = k とおくと, a, b, cは
x+x2-5x-k=0
... ①
の3つの実数解である。
3次方程式
ax+bx+c=0
の3つの解をα By と
すると
与えられた条件から、解と係数の関係を利用して、he を解とする3次方程式は
-(a+b+c)+(ab-le-cola-ale-0
2
y=0 とおくと x=0,
つまり、
と表せる。
beabo
3
ここでバーナー とおく。
よって, yの増減表は次のようになる。
2
x
0
3
0
[V
+
0
-
0
+
4
y
>
0
27
したがって, グラフは右の図。
(2) 接点をT(t, ピード) とおくと, Tにおける接線の方程式は
y-(13-12) (312-21)(x-1)
y=(31-21)x-21°+1 ... 1
これが点 (120) を通るから
1x = -1/2 のとき
方程式 ① は x3 + x2-5x=k
f(x)=x+x5x とおくと, 方程式 ① の実数解の個数と曲線
y=f(x) と直線y=kの共有点の個数は一致する。
ここで f(x)=3x+2x-5
b
a+β+r=-
a
C
aβ+βr+ra=
a
=(x-1)(3x+5)
5
x
1
d
f (x) = 0 とおくと
3
aβr=
5
f'(x)+
0
0
+
x=-
1
3'
175
f(x) >
-3
よって, f(x) の増減表は右のよ
うになる。
27
(ア) -3 <k<
ー () ()
175
27
175
のとき, 異なる3つの実数解をもつ。
8
4
4
27
27 9
27
(K) k=-3,
それと異なる1つの実数解をもつ。
のとき、 実数の重解と
YA
y=f(x) J175
27
175
-3<k< のときは
27
3点で交わるから異なる
3つの実数解をもつ。
k=-3,
175
のときは
27
ty'=3x²-2x より 接線
の傾きは 32t
(ウ) k-3,
175
27
y=k
くんのとき、1つの実
1点で接して, 1点で交わ
るから重解とそれと異な
3.
0 =
(312-21)-213 +12
46-116°+6t=0
数解と2つの虚数解 (2つの互いに共役
な複素数解)をもつ。
0
1つの実数解をもつ。
y=k
k<-3,
(ア)~(ウ)より, abc がとり得る値の範囲は
175
-3
y=k
175
27
くんのとき
t(t-2)(4t-3)=0
3
よって
t = 0, 2,
4
t(4t2-11t+6)=0
t(t-2)(4t-3)=0
-3 abc ≤
27
は1点で交わるから、 1つ
の実数解と2つの虚数解
をもつ。
