指数·対数 61
67 a+a*=tとおく関数
関数 f(z)=4"+4-"-2°+*ー22+2 について, 次の問いに答えよ。
(1) t=2"+2-*とおいて, f(z)をtで表せ。
(2)tの値の範囲を求めよ。
(3) 関数f(z) の最小値とそのときの』の値を求めよ。
く高知大)
(1) f(x)=(2"+2_)<2-2"*2シ-4-2"-4-2-*+2
解
TBバ %3ピー4t
(2)/ 2">0, 2-2>0 だから
(相加平均)2(相乗平均)より
t=2*+2*22/2*.2-エ=2
R0年(2"+2--)°-2-2"-2-*
a Sgo!(相加平均)2(相乗平均)
a>0, b>0 のとき
a+b22/ab
Daol
Cnaol Sogol
つくる
(先)(8)
t22
20
(3)f(x)=-4t=(t-2)? 4
t22 だから右のグラフより
t=2 のとき,最小値 -4
このとき,2"+2-"=2
0
で表せ。
(明治大)
70;
2"=X(X>0)とおくと X°+1=2X
gofs
122+2=2、バイ区
(X-1)°=0 . X=2"=1 より エ-0k X+
=2 よ。
よって,x=0のとき最小値 -4
Moao! JAM aof VX+1=D2X
アドバイス
a"+a"=t とおく変形での注意
*a+a-2r-(a*+a*)?-2a".a-エの変形はよく使う。この変形では
a*a=a°=1 となるのが point。
*t=a"+a-* のとりうる値の範囲,すなわちtの定義域を,(相加平均)2(相乗平均)
を使って求める方法は鮮やかである。しかし,一度やっておかないとできないか
らこれは覚えておこう。
2ol
00さ
法公開変の
これで解決!
a"+a-2"=t°-2
a"+a-"=tのとき
t22 (a"+a""22/α"*a"*=2より)
f6:?-6-2+4- とおく。
