数II、漸化式の問題です。 1枚目は問題文、2枚目は解答、3枚目は私の答えです。汚くてすみません。 私はnを消すために、n→n +1にした式から元の式を引いて、階差数列が出てきたのでそこからa nを求めようと思ったのですが、合わなかったです。どの考え方が間違っていますか... 続きを読む

【定石問題 M 144 レベル 4例題】 漸化式 - 3ª„–1 — 6″ – 5, α₁ = - 12 によって定義される数列の一般項は ɑ„ = 0 - 0″-²+0x+0

青チャート数Ⅱ 191 （イ） なぜこのような考え方をするのかが分かりません。 教えてください🙏よろしくお願いします！

06 基本例断 191 最高位の数と一の位の数 12は 桁の整数である。また,その最高位の数は 00000 で、一の位の数 は である。 ただし, log102=0.3010, 10g10 3=0.4771 とする。[慶応大]] (2/18 指針 (ア)(イ)正の数Nの桁数は log 10N の整数部分, 最高位の数は 10g 10 N の小数部分に注目。 基本188 なぜなら、 Nの桁数をkとし、最高位の数をα (a は整数, 1≦a≦) とすると 10N (a+1)・10^-1α00.0 (0が1個) からα99.9 (9が1個)まで。 ← 10g10 (α・10-1)≦logoN <logio { (a+1)・10-1} 各辺の常用対数をとる。 -10g10 (α・10-1)=logioa+logw10- ⇔k-1+logia≦log10N <k-1+10g10 (a+1) よって、 10g10 Nの整数部分を小数部分をg とすると p=k-1, logio a q<log10(a+1) () 121, 122, 123, を計算してみて,一の位の数の規則性を見つける。 1310 (ア)10g10126=601og10 (22.3)=60(210g102+10g103) log101201012, 12=22.3 日 ① 弦 H 1 解答 =60(2×0.3010+0.4771)=64.746 ゆえに 64<log10 1260<65 よって 10641260 <1065 (イ)(ア)から したがって, 126 は 65 桁の整数である。 log1012=64+0.746 p=19 ae (イ)の別解 (ア)から 001 12601064.746=104 • 100.7% ここで 10g105=1-10g10 2 =1-0.3010=0.6990 501 NE log106=10g102+10g103 @hago Saraol= =0.3010+0.4771=0.7781 gold= 10746 の整数部分が 12 の最高位の数である。 ここで, 10g105=0.6990 から 100.6990-5 ae 10°/10°.746 10'であるか Forgol= 001 ゆえに log105 < 0.746 <log106.001080×2= すなわち 5<100.7466 10g 106=0.7781 から よって 5・10641064.74661064 S 012100.7781-6 8.0 (ウ) 121,122,123,124,125, ..の一の位の数は,順に すなわち 5•10%<12%<6・10° 10% 1000 <100,740 <100 したがって, 126 の最高位の数は 5 0.7781 から 5<100.7466 0108.0 よって, 最高位の数は5 ...... 2, 4, 8, 6, 2, となり,4つの数2,48 60=4×15 であるから, 12 ..... 口122(mod 10)である を順に繰り返す。 6 の一の位の数は 6。 から 12" の一の位の数 は 2” の一の位の数と同 じ。

この(2)で、tが実数以上動く時にどうしてその範囲になるのか分からないので教えてほしいです！！！ tが何を表してるのかも曖昧なのでそこも教えてください！

96 練習問題 16 放物線y=x-2(t+2)x+4t の頂点をPとする. (1) tがすべての実数を動くときに, 頂点Pの軌跡を求めよ. (2) t0以上の実数を動くときに, 頂点Pの軌跡を求めよ. 精講 頂点Pの座標, y座標をt を用いて表し, tを消去すること Pの軌跡を求めます. 今までは点Pの座標を (x, y) とおいて したが、この問題では,xやyという文字は放物線を表す式の中にも登 すので、混同しないように (X, Y)と大文字でおいておくのがいいでしょ 解答 y=x2-2(t+2)x+4t ={x-(t+2)}-(t+2)2+4t ={r-(t+2)}-t-4 平方完成 なので,放物線の頂点は (t+2, -f2-4) 頂点を P(X, Y) とおくと,き 反ではない) X=t+2 ・・・・・・ ①, Y=-t2-4... ② 媒介変数表 (1) tを消去する. ① より t=X-2 なので,これを②に代入すると Y=-(X-2)^-4 tを消去 tがすべての実数を動くとき,X (=t+2) もすべての実数を動くので める軌跡は (2)同じくを消去すると,Y=-(X-2)2-4 tが0以上の実数を動くとき, 放物線y=(x-2)2-4 (全体) 「答えを書くときは 小文字のxyに戻す tの変域を (Xに引き継 X-2≥0 X≧2 より, Xは2以上の実数を動く. よって, 求める軌跡は 放物線の一部 y=-(x-2)2-4 (x≧2) (1)の軌跡 0 -4 2 放物線 全体 (2)の軌跡 YA 2 放物線の 一部となる

この2つの問題で、まず練習13のマーカー引いているところでどうしてそうなるのか教えてほしいです！ それと！ 14番の問題でこの直線束の考え方は直線の方程式だけじゃなくて円の方程式も求められるのか、なにを求める時に使えるのかと、 この(2)でどうして(1)とおなじく 直線束で... 続きを読む

88 第3章 図形 練習問題 13」 の (1) 2直線 3+5y-2=0 と7ェー3y-2=0 の交点と点 (1.1) を通る直 線の方程式を求めよ.X (2)a を実数とする. 直線 (a+2)+(2a-5)y-4a+1=0 はαの値に よらず定点を通ることを示し, その定点の座標を求めよ. × 精講 (1)は,もちろん実際に交点を求めてから直線の方程式を作ることも できますが,ここでは前ページで説明した「直線束」の考え方を利 用してみましょう (2)も, αで整理すると直線束の形をしています。 解答 (1) 3.+5y-2=0 と 7x-3y-2=0 の交点を通る (7-3y-2=0 以外の)直 の情報を 不足なく持させる 線は 3x+5y-2+k(7x-3y-2)=0 ･･････ ① と表すことができる. これが (1,1) を通るので, 6+2k=0 すなわち k=-3 これを① に代入すれば 3+5y-2-3(7x-3y-2) = 0 すなわち 9x-7y-2=0 コメント 2直線の交点を実際に求めると ( 1 ) となり、この点と(1.1) を通る 11 直線の式を求めても同じ結果が得られます.ただ,束の考え方を使えば,この 交点を求めることなく答えが得られるのがポイントです。 (2) 与えられた式をαで整理すると (2x-5y+1)+α(x+2y-4)=0 ...... ② この直線は,αの値によらず2直線 2-5y+1=0 • x+2y-4=0 ・③と ④の交点を通る. ③④を連立方程式として解けば (x,y)=(21) となるので,②はαの値によらず定点 (2,1) を通る コメント これは②がαの値によらず成立する, つまり②がαについての恒等式とな 条件は、②をαの1次式と見たときの係数がすべて0になること、つまり③ るような (x,y) の値を求める問題であると見ることもできます.そのための ④が成り立つことです.

この問題の(4)のiのマーカー引いているところで、これがどこにいったのか分からないので教えてほしいです！！！

3 【必須問題】 (配点 50点) 16-16 を実数の定数とする. xの3次式 f(x)=x-2kx2+(k2+4k-2)x-k-4 と、xの2次式 g(x)=x2-2(k-1)x+2 がある. (1) k=-4 のとき, 方程式 f(x) =0 を解け. (2) k=0 のとき, 方程式 f(x) = 0 を解け. (3) f(x)をg(x)で割ったときの商と余りをそれぞれ求めよ. (4) 異なる複素数 α, β に対して, が成り立つとする. g(α) = β かつ g(β)=α (*) (i) α + β と αβをそれぞれんを用いて表せ. (i) (*) かつf(α) + f(β)=0 を満たす異なる複素数α, β が存在するようなkの値 をすべて求めよ.

この問題の2番でどうしてtを使った式で表しているのか教えてください！！

練習問題 7 (1)和が2,積が2であるような2つの数を求めよ.X (2) 次の連立方程式を満たすようなyの値を求めよ. X x+y=4,xy=2 精講 2つの数α βが与えられ,その2つの数の和と積gがわかって いるとしましょう. このとき(前ページで説明したことにより)α, βは2次方程式 x²-px+g=0) の2つの解ですから,この2次方程式を解くことでα と βを同時に求めてし まうことができます。 5分を飛ばして公式だけを丸 解答 (1) 2つの数をα β とすると, α+β=2, aβ=2 α, βを2つの解にもつような2次方程式の1つは x²-2x+2=0 である. これを解くと, x=1±i.第一となる。 したがって, 求める2つの数は 1+i1i (2)x,yを解にもつようなtの2次方程式の1つは た曲を 01.003 た t2-4t+2=0+3で割高 である. これを解くと, t=2±√2. したがって(7) または (2-√2,2+√2) (x,y)=(2+√22-√2)

数Ⅱの因数分解のこの公式と数1の公式は何が違うんですか？よく分からなくなっているので教えてほしいです！！ 数1だとこのかっこ1みたいな問題は1個目のカッコの中の符号をプラスにしてといてた覚えがあります！

2次方程式の解と因数分解 43 2次方程式の解法として, 「因数分解」を用いる方法はよく知っていると思 います.例えば x2+px+g=0 という方程式が (xa)(x-β)=0 第2章 と因数分解できたとすれば,この2次方程式の解は x=α β となります. 裏を返すと, 2次方程式 '+px+g=0の解がx=α,βであ るならば、2次式x'+px+g は x2+px+g=(x-a)(x-B) と因数分解できる, ということもできます. これまでは, 「2次方程式の解を求めるために因数分解する」 のがふつうだ ったのですが、逆に「因数分解するために 2次方程式の解を求める」という流 れも考えられるわけです. 2次方程式の解は,解の公式を用いれば確実に求め ることができるのですから, すべての2次式は (複素数の範囲で) 確実に因数分 解することができることになります。 一般に,次のことが成り立ちます. ✓ 2次方程式の解と因数分解 2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解がα βであるとすると, 2次式 ax2+bx+c は += @x²+bx+c⇒a(x>a)(xß) と因数分解できる . ここにαがつくことに注意) 元の式と因数分解した式はの係数が等しくなるはずですので,左辺のx2 の係数がαのときは, 右辺の因数分解した式の頭にもαがつくことに注意し てください。 -1±√7i 例えば,2x2+x+1=0 の解はx= ですので, 4 −1+√7i −1-√√7 i\ 2.x2+x+1=2x- IC 4

この問題のかっこ2の水色のマーカー引いているところでどこからこれが出てきて何を表してるのかわからないので教えてほしいです！！！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1) a≧060 のとき 33 第1章 a+b. (2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば ≧vab 2 A+B≧2AB ...... ① が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを が成り立つ. 答えよ. × dto<I+do A= (2)a>0b>0 のとき b S =122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから, a ①の不等式より a b b a a b + ≥2 a + ≧2. a b ba √ a b A+B≧2√AB であることを示せ.X すなわち b a 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0 であることがいえれば, + ≥2 a b が成り立つ. コメント A'B' ⇒ A>B ...... (*) が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上 の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます). (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 (1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20 をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった vab をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮 かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると 見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では 2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った a+b 2 見る -da a2+2ab+62 a+b 2 ≧vab --ab 4 a²-2ab+b² -d) α² +2ab+b2-4ab 4 <D を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より 大きくなる」ということを意味しています。 4 例えば, a=4, 69 のとき (a-b)2 「成り立 4 -≧0 (α-6 は実数より) 4+9 2 =6.5, √4-9-6 よって, (左辺) (右辺) 20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので (左辺) (右辺) A≧0, B≧ であれば A'≧B2 ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。 (2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した ⇒ A≧B 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ a+b2ab の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚 えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます

この問題のかっこ2の水色のマーカー引いているところでどこからこれが出てきて何を表してるのかわからないので教えてほしいです！！！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1) a≧060 のとき 33 第1章 a+b. (2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば ≧vab 2 A+B≧2AB ...... ① が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを が成り立つ. 答えよ. × dto<I+do A= (2)a>0b>0 のとき b S =122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから, a ①の不等式より a b b a a b + ≥2 a + ≧2. a b ba √ a b A+B≧2√AB であることを示せ.X すなわち b a 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0 であることがいえれば, + ≥2 a b が成り立つ. コメント A'B' ⇒ A>B ...... (*) が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上 の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます). (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 (1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20 をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった vab をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮 かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると 見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では 2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った a+b 2 見る -da a2+2ab+62 a+b 2 ≧vab --ab 4 a²-2ab+b² -d) α² +2ab+b2-4ab 4 <D を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より 大きくなる」ということを意味しています。 4 例えば, a=4, 69 のとき (a-b)2 「成り立 4 -≧0 (α-6 は実数より) 4+9 2 =6.5, √4-9-6 よって, (左辺) (右辺) 20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので (左辺) (右辺) A≧0, B≧ であれば A'≧B2 ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。 (2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した ⇒ A≧B 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ a+b2ab の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚 えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます

この問題の2番でこうやって解いたんですけどこの答えって丸ですか！！

48 第2章 複素数と方程式 練習問題 6 (1)3+2i32i を解にもつ2次方程式を1つ作れ. (2) 2次方程式 x^2+3x+5=0 の2つの解をα, β とする. α+1, B+ を解とする2次方程式を1つ求めよ. 精講 「2次方程式が与えられたとき, その2つの解を求める」という 「がふつうの流れですが、逆に「2つの解が与えられたとき,それ 解にもつ2次方程式を作る」ということを考えてみます.それは全く難しく りませんα,βを解にもつ2次方程式 (の1つ) は (x-a)(x-B)=0です ら,それを展開して x²-(a+β)x+aß=0 となります。要するに,2つの解の和と積をとれば, 求める2次方程式は (和)x+(積) = 0 の形で書けることになります。 解答 1)2つの解の和と積を計算すると, 和: (3+2i) + (3-2i)=6 積: (3+2i) (3-2i)=9-4iz=13 なので、求める2次方程式(の1つ)は x²-6x+13=0 コメント を展開しても同じ結果が得られます. また, 両辺を定数倍しても解は変わらな ふつうに{x-(3+2i)}{x-(3-2i)}=0 という2次方程式を作って、左 いので, 2.2-12x+26=0 や -x2+6-13 =0 などを答えにしても正解です ルチ (2)解と係数の関係より a+β=-3,aβ=5 ここで,α+1,β+1 の和と積を求めると ようと α,βを具体的に 和: (a+1)+(3+1)=α+β+2=-1 求める必要はない したがって, α+1, β+1 を解にもつような2次方程式の1つ)は 積: (a+1) (B+1)=αβ+α+β+1=5-3+1=3 (-1)x+3=0 すなわち x2+x+3 = 0