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第7章 数
列
基礎問
138 数学的帰納法 (II)
nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ、
1
(1) 12+22 +…+n=
n n(n+1)(2n+1)......①
1 1
1
2n
(2) 1+
+・・・+
+
M
.....(2)
2 3
n n+1
|精講
手順は 137 と同じですが,n=kのときの式から, n=k+1のとき
の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解答
(1) i) n=1のとき
左辺 = 1, 右辺 = 1/10・1・2・3=1
6
よって, n=1のとき,①は成立する.
ii) n=kのとき
12+22+..+k=k(k+1)(2k+1) ①、
6
が成立すると仮定する.
左辺 = 12+22++k+(k+1)
右辺 = 1/2k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
んでくくった
=1/1/(k+1){(2k²+k)+6(k+1)}
①の両辺に (+1)2を加えて
左辺に,
12+2+...
+k²+(k+1)^
を作ることを考える
そのまま使えてるとはとる
=1/21 (k+1)(k+2)(2k+3)
6
これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである.
よって ① は n = k +1 でも成立する.
i), ii)より, ① はすべての自然数nについて成立する.
