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重要 例題 143 三角方程式の解の存在条件
10 の方程式 sin²0+acos0-2a-1=0 を満たす0があるような定数aの値の範
囲を求めよ。
指針▷ まず, 1種類の三角関数で表す
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち
cos0=xとおくと, -1≦x≦1 で, 与式は
x2 - ax+2a = 0
よって、求める条件は, 2次方程式 ① が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもっ
ことと同じである｡ 次の CHART に従って, 考えてみよう。
......
2次方程式の解と数kの大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目・・・・・
2014
[同志社大]
解答
cos0=x とおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0... ①
この左辺をf(x) とすると, 求める条件は, 方程式f(x)=0が
-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。
これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について,次の [1] ま
たは [2] または [3] が成り立つことと同じである。
口 [1] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲で,x軸と異なる2 る条件を考えてもよい。
点で交わる, または接する。
標が-1≦x≦1の範囲にあ
編 p.139 を参照。
したか
[1] YA
このための条件は、 ①の判別式をDとすると D≧0
D=(-α)²-4・2a=a(a−8)であるから
よって
a(a-8)≥0
a≦0,8≦a
a
軸x=12/28 について-1<<1から 2<a<2…
a>- 1/13
a>-1
f(-1)=1+3a > 0 から
f(1) =1+a>0
から
②~⑤の共通範囲を求めて
<a≦0
3
口 [2] 放物線y=f(x) が-1<x<1の範囲でx軸とただ1点
で交わり,他の1点は x<-1, 1<xの範囲にある。
このための条件は f(-1)f(1)<0
ゆえに (3a+1)(a+1)< 0 よって-1<a<-
3
口 [3] 放物線y=f(x)がx軸とx=-1またはx=1で交わる。
f(-1) = 0 またはf( 1 ) = 0 から a=- または α=-1
3
基本140
[1], [2], [3] を合わせて -1≤a≤0
参考 [2] と [3] をまとめて, f(-1)f(1) ≦ 0 としてもよい。
検討
x2ax+2a=0をaについ
て整理すると
x2=a(x-2)
|よって, 放物線y=x²と直
y=a(x-2) の共有点
16
0 1+
1
[2]
VA
7
- 0
2
V
100
cos
グラー
求める
