129
重要例題 83 折れ線の長さの最小
5). B(9, 0)とするとき,直線 x+y=5 上に点Pをとり,AP+PB を
[日本獣畜大)
基本79
最小にする点Pの座標を求めよ。
式を導く。
とを示す。
CHART
lOLUTION
折れ線の問題には 線対称移動
直線e:x+y=5 に関して2点 A, Bが同じ側にあるから考えにくい。
そこで,直線!に関してAと対称な点A'をとると
上にある
AP+PB=A'P+PB>A'B
等号が成り立つのは, 3点A', P, Bが一直線上にあるときである。……の
ゆえに,直線!と直線 A'Bの交点が求める点Pである。
解答
に文字を計
3章
② を使用する。
陰が1点で、
2直線0.
2点A, Bは直線lに関して同じ側にある。
直線 :x+y=5
関してAと対称な点をA'(a, b)
とする。
11
直線eに関して点Pと
点Qが対称→
[1] PQI!
のに
5
A
3
[2] 線分 PQの中点が
直線上にある
同じ直止
を示すには
直線上にも
っことを行
11
Po
AA'1l から
b-5.
介直線 AA'はx軸に垂直
ではないから aキ2
垂直→傾きの積が -1
B
ニ(-1)=-1
0
2
5
9
a-2
の
e
よって
a-b=-3·
線分 AA'の中点が直線!上にあ
2+a,5+b
2
-=5
1上にお
るから
2
3
よって
a+b=3
ゆえに
A'(0, 3)
2, ③を解いて
このとき
よって, 3点A', P, Bが一直線上にあるとき,AP+PB は最
小になる。
全線分 AA'の垂直二等分
線上の点は、2点 A, A'
a=0, b=3
AP+PB=A'P+PB2A'B
から等距離にある。
よって AP=DA'P
*2点A', B間の最短経
路は、2点を結ぶ線分
A'Bである。
こあ。
x
す
+=1 すなわち x+3y=9 …④
直線ABの方程式は
直線 A'Bと直線lの交点を Poとすると, その座標は
x=3, y=2
Po(3, 2)
(3, 2)
ゆえに
0, ④を解いて
したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は
C
(a、b
