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数学 高校生

113. mとnが互いに素でないことを言い換えると mとnが素数を公約数にもつ となるのはなぜですか? 例えばm=20,n=4のときm,nは互いに素でなく、 公約数は4で素数ではないですよね?

基本例題 113 互いに素に関する証明問題 (2) 00000 自然数 α, bに対して, aとbが互いに素ならば, a+babは互いに素であるこ とを証明せよ。 p.476 基本事項 [②] 重要 114 指針a+b と ab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。 →a+b と ab が互いに素でない,すなわち a+b と ab はある素数』を公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお,次の素数の性質も利用する。 ただし, m, nは整数である。 mnが素数」の倍数であるとき, mまたはn はかの倍数である。 CHART 互いに素であることの証明 ① 最大公約数が1を導く ② 背理法 (間接証明法) の利用 解答 a+b と ab が互いに素でない, すなわちa+b ab ある素 数』を公約数にもつと仮定すると ② (k, lは自然数) a+b=pk...・・・ ①, ab=pl と表される。 ② から, a または6の倍数である。 aがpの倍数であるとき, a=pm となる自然数mがある。 このとき, ①から6=pk-a=pk-pm=p(k-m) となり, ももかの倍数である。 これはaとbが互いに素であることに矛盾している。 bがpの倍数であるときも、同様にしてαはpの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって,a+b と αb は互いに素である。 mとnが互いに素でない ⇒ m nが素数を公約 数にもつ <k-mは整数。 <a=pk-b =p(k-m') ( m'は整数) [参考] 前ページの基本例題112 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」 は, 整数 の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 問題 素数は無限個あることを証明せよ。 [証明] を2以上の自然数とすると+1は互いに素であるから,(n+1) は異な 」 る素因数を2個以上もつ。 同様にして, n=n(n+1)=n(n+1) (n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 この操作は無限に続けることができるから, 素数は無限個存在する。 ※各自=2や=3などの場合で,このことを検証してみるとよい。 素数が無限個あることの証明は, ユークリッドが発見した背理法を利用する方法が有名である が、上の証明は、21世紀に入って (2006年), サイダックによって提示された, とても簡潔な方 法で 481 4章 17 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数

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数学 高校生

互いに素の時どちらかにマイナスをつけなければならないのはわかっているのですが、今回は答えと違う式の方にマイナスをつけました。答えと違う方にマイナスをつけると範囲が変わってしまうのですがどうしたらいいですか。

47 花子さんの住んでいる町内で毎年行われているクリスマス会では、参加者全員にスナック菓子を1 袋ずつ配ることになっている。 今年は、花子さんがスナック菓子を買うことになり、1年前のクリス マス会を知っている人に話を聞いた。 1年前は、 参加者は30人で, スナック菓子は, 3袋入りの箱と7袋入りの箱の2種類が売られていた。 3袋入りを箱 7袋入りを箱買うと30人全員に1袋ずつ残さず配ることができたという。ただし, a b はともに0以上の整数とする。 このことから 3a+76=アイ ...... ① が成り立ち、①を満たす a, bの組(a,b) は, (a,b)= ウエ 組だけ存在する。 (1) 花子さんは,参加者が何人であれば、3袋入りと7袋入りの箱をうまく組み合わせて買うことで スナック菓子を参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができるかに興味をもった。 参加者全員に1 袋ずつ残さず配ることができない場合について考えよう。 3袋入り x 7袋入りを箱買うとする。 ただし,x,yはともに0以上の整数とする。 (i)yが3の倍数のとき、y=3 (は0以上の整数)と表すと 3x+7y= (x+51) であり, 3x+7yと表される数は 以上の3の倍数すべてである。 (ii)yを3で割った余りが1のとき, 31+1 (1は0以上の整数)と表すと 3x+7y=サ (x+シ 1 __ス) +セ (ただし、 >セ であり, 3x+7y と表される数は3で割った余りがソである整数であり,そのうち最小のも のはタである。 ()yを3で割った余りが2のとき, (i), (ii)と同様に考えると, 3x+7y と表される数は3で割っ た余りがチである整数であり、そのうち最小のものはツテである。 (i)~(ii)より, 3x+7y (x, y はともに0以上の整数)と表されない自然数は全部で ト 個ある。 すなわち, 3袋入りと7袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても、参加者全員に1 袋ずつ残さず配ることができない参加人数は全部でト通りある。 (2) 今年は別のスナック菓子を買うことにした。 そのスナック菓子は2袋入りの箱5袋入りの箱の 2種類が売られており、中身のパッケージのデザインも異なっていたため、クリスマス会を盛り上 げるため, 2袋入り 5袋入りのどちらも1箱以上買うことになった。 このとき2袋入りと5袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても, スナック菓子を 参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができない最大の参加人数はナニ人である。 (配点20) 公式解法集 48 OSTO 難易度★★★ SELECT SELECT 90 60 目標解答時間 15分 オ ). ( カ の2

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数学 中学生

至急です!!!(2)なのですが、答えがなぜそうなるのかは分かります。でもどうやってy=40(x-1)ってなるのかは分からないので解説お願いします💦💦

1 6 ユウキさんは,観 覧車に設置されているゴン ドラ (人が乗車する部分) が移動するようすに興味を もち, 右の図のような模式 ·l 図をかいて考えてみた。 図において, 「1号車」, 「2号車」, 「3号車」, ..., 「17号車」, 「18号車」はゴンドラを表し, 円0の周 上にあって、円周を18等分している点である。 P は円Oの外側にある点であり, Aは線分 OP と円O との交点である。 lは, P を通り線分 OP に垂直な 直線であって、円Oと同じ平面上にある。 円0は, 0を中心として一定の速度で回転し, 「1号車」 が はじめてAに到着し, その後40秒後に 「2号車」 が はじめてAに到着し, その後, 40秒ごとに, 「3号 車」…, 「17号車」, 「18号車」 が順にAに到着する。 「18号車」 がAに到着してから40秒後に 「1号車」 はAに到着する。 「1号車」 がはじめにAに到着し たときからのAに到着したゴンドラを表す点の個数 をxとし,個の点がAに到着するときにかかる時 間を秒とする。 また, x=1のときy=0 である。 IC を自然数として,次の問いに答えなさい。 X y 2号車 0 ... 3号車 4号車 5号車 6号車 7号車 8号車 '9号車 早18号 5 (ア) 0 17号車 (大阪) (7点×3> (1) 次の表は,xとyの関係についてかいた表の一 部である。 表中の(ア), (イ)にあてはまる数をそれぞ れ答えなさい。 1 2 40 16号車 15号車 ●14号車 13号車 12号車 A 10号車 1号車 11 (イ) ポイント=3のとき80 x=4のときy=120 (ア) 160, (4) 400 (2)を自然数として,yをxの式で表しなさい。 y=40(x-1) =40x-40 y=40x-40

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古文 高校生

受可自尊の助動詞る、らるについてですが、受け身なのか尊敬なのかが分かりません。そのせいで内容が取れていない気がします。最初に出てくる歌の前の文で、歌を詠みかけられける。という部分がありますがこれは歌をお詠みになった なのか歌を詠みかけられたという受け身の意味なのかわかりませ... 続きを読む

ふうていしょう 第3問 次の【文章Ⅰ】は、藤原俊成の歌論書『古来風鉢抄』の一節である。また、【文章Ⅱ】は、鎌倉時代初期の歌学書『和歌色 葉』の一節で、「芹つみし・・・」の歌が、一説として以下の故事に依っているということを述べたものである。これを読んで、後の 問い(問1~6)に答えよ。 (配点 500) 【文章Ⅰ】 ぎゅうぎぼさつ 行基菩薩 まだ若くおはしける時、智光法師に論義に逢ひ給ひたりけるを、智光少し驕慢の心にやありけん、若き敵に逢 ひたりと思へる気色なりければ、歌を詠みかけられける。 (注2) ふくだ かたばかま 真福田が修行に出でし片我こそ縫ひしかその片袴 おほかた かく言はれて、「二生の人にこそおはしけれ」と、帰したけり。この事は、行基菩薩の前の身に、大和の国なりける長者とぞい ひけれど、国の大領などいふものにやありけん。その家の娘のいみじく傅きけるが、かたちなどいとをかしかりけるを、門守 78 する女のありけるが、子に真福田といふ童ありけり。 十七、八ばかりなりけるが、その家の娘をほのかに見て、人知れず病にな りて、死ぬべくなりにける時に、母の女その曲を問ひ聞きて、「我が子生きて給ひてんや」と洩らし言ひたりければ、娘、「大方 はやすかるべきやうなる事なれど、無下にその童ざまにては、さすがなりぬべし。さるべからん寺に行きて、法師になりて、 学問よくして、才ある僧になりて来たらん時逢はん」と言はせたりければ、かくと聞きて、急ぎ出で立ちける。 「童の着るべかり ける袴持て来。我縫ひて取らせん」と言ひければ、母の女喜びながら、忍びて参らせたりけるを、片袴をなん縫ひて取らせたり ける。さて、寺に行きて、師につきて学問を夜昼しければ、二、三年ばかりに、味の妹の智者になりにけり。さて、後来たりけ れば、「今宵」と言ひて逢ひたりける程に、この娘、にはかに消え入るやうにて亡くなりにけり。法師あさましく悲しく覚えて、 寺に帰りて、道心深く起こしていよいよ尊くなりにけり。されど、我が童名「真福田」といふこと、僧の中には、さしも知らせ ざりけるを、年経て、行基といふ若き智者の出で来たりけるに、論義にあひたる程に、その昔名をかく言ひて、「我こそ縫ひし のち その片袴」と言ひけるに、思ひ続くれば、「我がもと道心起こし始めし女は、即ち、この行基にこそおはしけれど、我が身を き僧となさむとて、しばし仮に彼の女と生まれて見えたりける」と心得るに、尊く、めでたくも恥ぢも覚めるなり。知識け まこと 真に大の因縁なるものなり。 【文章Ⅱ 】 ごと 芹つみし昔の人も我が如や心にものはかなはざりけむ (注6) (注7) まぼ おうな ある説には、昔、大和国に猛者ありけり。 山をつき池をほりていみじき事どもを尽くせりける。 門守りの嫗の子に真福田丸と いふ童、池のほとりに行きて芹をつみけるに、猛者のいつき姫君出でて遊びけるを見て、この童おほけなき心起こりて、病に 臥しにけるを、姫君もれ聞きて、「あはれにやすき事なり。早く病をやめよ」と言はせければ、童喜びて起きゐぬ。姫君の言ふや う、「忍びて文通はさむに、手を習へ」と言へば、童ほどなくて習ひつ。また言はく、「父母死なむこと近し。 その後は何事も沙 せむに、文字知らざらむ、 わろし。 学問せよ」と言ふ。童学問してうるほひぬ。 また言はく、「忍びて通はむに、童は見苦し。 「法師になれ」と言ふに、やがてなりぬ。 また言はく、「その事となからむ法師を近づけむもあやしかりなむ。経どもをよめ。 祈り せさするやうにてもてなさむ」と言へば、よみつ。また言はく、「なほいささか修行せよ。護身なんどせさするやうにて近づけ む」と言へば、修行に出で立つ日、姫君あはれみて藤の袴を調じて取らするに、片袴をばみづから縫ひつ。これを着て修行しあ りく程に、帰りて聞けば、 姫君そのまにうせにけり。 これを聞きて深く道心を起こしてひとへに極楽を願ひて往生しぬ。 弟子ど も後の事に行基菩薩を導師に請ひたるに、礼盤にのぼりて言はく、「真福田丸が藤袴、 我ぞ縫ひし片袴」とばかり言ひて、異事も 言はでおりぬ。弟子あやしみて問ひければ、「亡者智光は必ず往生すべきものの、はからざるに世間に貪着して悪道に行かむと せしかば、我方便してかくはこしらへいれたるなり」となむありける。姫君は行基の化身なり。行基菩薩は文殊の変化なり。真 福田丸は元興寺の智光なりといへり。 とんちゃく GN (注8) 1 -79-

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