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重要 例題 20 因数分解 (a+b+c-3abc の形)
(1)+6=(a+b)-3ab(a+b) であることを用いて,+b+c-3abc を因
数分解せよ。
(2)x+3xy+y-1 を因数分解せよ。
指針
(1) a+b=(a+b)³-3ab(a+b)
解答
① を用いて変形すると
a+b+c-3abc=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc=(a+b)+c-3ub{(a+b)+c}
次に、(a+b)+cについて, 3乗の和の公式か等式①を適用し, 共通因数を見つけ
る。
(2) (1) の結果を利用する。
(1) a+b+c3-3abc
=(a+63)+c3-3abc d
=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
=(a+b)+c-3ab{(a+b)+c}......(*)
まず変形。
(b)とのペア。
={(a+b)+c}{(a+b)2-(a+b)c+c2}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+2ab+b2-ca-bc+c2-3ab)
=(a+b+c)(a2+b+c-ab-bc-ca)
別解 (*) を導くまでは同じ。
a+b+c-3abc
a+b+cが共通因数。
()内を整理。
={(a+b)+c}-3(a+b)c{(a+b)+c}-3ab(a+b+c) <a+b=Aとおき, 等式
=(a+b+c){(a+b+c)2-3(a+b)c-3ab}
A³+c³
=(A+c)-3Ac(A+c)
=(a+b+c)(a+b2+c-ab-bc-ca)
(2)x+3xy+y-1
=(x+y-1)+3xy
を再び用いる。
=x+y+(-1)-3xy.(-1)
={x+y+(-1)}{x2+y^+(-1)^-xy-y(-1)(−1)x}
=(x+y-1)(x-xy+y2+x+y+1)
POINT (1) の結果は覚えておくとよい。
検討
(
a=x, b=y,c=-1を
(1)の結果の式に代入。
a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-be-ca)
等式α+6=(a+b)-3ab(a+b)
この等式は3次式の値を求める際によく利用され,次のようにして導くことができる。
p.13の展開の公式から (a+b)=a+3ab+3ab2+b=a+6+3ab(a+b)
よって
すなわち
(a+b)-3ab(a+b)=α+63
+b=(a+b)-3ab(a+b)-
また、次のようにして導くこともできる。
38の検討から
a-ab+b2=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab
このこととか.26 の因数分解の公式を利用して
