(2)x+y+z=2,x-y-5z=0を満たすx, y, zの任意の値に対して,常に
a(2-x)2 + b(2-y)2 + c(2-z)2=35 となるように定数a, b, c の値を定めよ。
x+y+z=2
・・・・・・
①, x-y-5z=0
2x-4z=2
①+② から
①-② から 2y+6z=2
......
② とする。
よって
x=2z+1
よって y=-3z+1
これらを α(2-x)2+6(2-y)2+c(2-z)2=35に代入すると
左辺をz について整理すると
a{2-(2z +1)}2+b{2-(-3z +1)}' + c(2-z)=35
(4a +96+c)z2-2(2a-36+2c)z+a+b+4c=35
この等式がについての恒等式であるから
4a +96+ c = 0
・・・・・ 3
2a-3b+2c=0
a+b+4c=35
③x2-④ から
6a+216=0
④ x2 -⑤ から
3a-7b=-35
⑥ + ⑦ から
5a=-35
このとき, ⑥から
更に,③から
したがって
7b=-2a=14
c=-4a-96=28-18=10
a=-7,b=2,c=10
よって 2a+76=0
⑥
・・・・・
⑦
ゆえに
a=-7
よって b=2
