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61 次の不等式を証明せよ。また,等号が成り立っときを調べよ。
等号が成り立つのは, x-2y+1=0 かつ y+2=0, すなわち x=-3、
不等式 x+5y?+2x+524xy を証明せよ。 また、等号
0, の から Vx+y<l+、2
||+20, Vx+y20であるから
=x+2xy} + y?ー(x^ty)%=D2x}20
(2)(1)の不等式で α=x-z, b=yーzとすると
(xー2)-(yー2)Sx-2l+ly-a
20●●
例題
19
クリアー 数学
16
3デ+y+ェり2は++2
等野が成り立つのは, エーy=0 かつ yーミ=0
かつミーズ=0. すなわちょ%=y=:のときである。
ときを調べよ。
よって
よって
|xーメSxー2+yーal
lab|-ab20
(21a|- 3|b|)<12a-
(x+5y?+2x+5)-4xy=x"-2(2y-1)x+5y?++5
={x-(2y-1)}?-(2y-1)+5y°+5
例題
20
64 +l»°-(V+ y??
lab|2ab であるから
0<a<b, a+6=4
62 両辺の平方の差を考えると
2ab
よって,O から
2la-3|b|20, 12a-36|20であるから
2a|- 3||<12a-3||
2|a|-36|<|2a-36|
ドー
+る
=(x-2y+1)°+y+4y+4
aba+b)?ー4ab
(a+b7
よって
(1+l»)2V+y?}?
解答 0<a<6, a+b=4 か
また, b=4-a から
a+6
=(x-2y+1)?+(y+2}?z0
[1], [2] から
国 等号が成り立つのは, 21al-3||20 か
labl= ab, すなわち 2a23||| かつ ab>(
=ab-
ab-の
x2+5y?+2x+524xy
よって
20
(a+6)
aba本 ab
2、+yド- +lo?
=2(x°+y)-(x+2[xy\+y}
=xパ-2x+y=D(x|-1s?0
また
(a+bド
きである。
[1] a+6>8 を元
2ab 2
66 脂針 まず, 式に適当な値を代入して,
の見当をつける。 0<a<6, a+6=2を満
ラb=をとる
Nab2
a+b
のとき である。
のから
よって
2ab
2ab
->0であるから Vab>
a+6
a>0.
a+b
よって
1
3
B
aキ2 より、2(c
数として,例えば, a=
2
2、x?+y°20, |z|+ls}20であるから
[2] a-6a+16
(C
等号が成り立つのは、 ロー6=0, すなわちa=b
a?+6?
3
5
2Vx?+y2+ls
う, ab=
4°
61 次の不等式を証明せよ。また,等号が成り立つときを調べト
(1) x+y°24(x-y-2)
*) x+2xy+5y?-4x-8y+520
* 3(x°+y°+z)2(x+y+z)°
のときである。
2
4
Dから
国 a>0. 5>0であるから, 相加平均と相乗平
a+622/ab
よって,0<a<b, a+b=2のとき,
a°+6?
…の
左の等号は xy=0のとき, 右の等号は
|=l} のときに成り立つ。
均の大小関係により
であると予想される。
参考
0<a<2 か
よって、a(
[1],[2] から
2
a+6>0. Vab>0であるから
2/ab
a+622/ab → 12
これを不等式を用いて証明する。
a+6
65 (1) (a°-ab+b3)-(a+b-1)
0<a<b, a+b=2から
2ab
ab Zatb
=a?-(b+1)a+6?-6+1
の
また,b=2-aから
ab=a(2-a)=2a-a?
a2+6?_a'+(2-a) -a?-2a+2
b+1 \2
参考)
このような
6+1\2
2ab
2ab
Jab 2atb
62 a>0, b>0 のとき,Vab>
a+b
を証明せよ。また、等号が成りさ。
2
+6?-b+1
よって
い。0<a<
6+12
等号が成り立つのは, 相加平均と相乗平均の不
等式a+622ab の等号が成り立つときである
から,a=bのときである。
3
hー
を調べよ。
3
2
2
2
よって,C
[1] ab>aを示す。
ab-a=a(b-1)
a>0であり,Oより, b-1>0である。
+12
3
(62-26+1)
る。
63 (1) 両辺の平方の差を考えると
=(a-)+0-120
63 (1) 不等式 |a-b|<\a|+|6| を証明せよ。また,等号が成り立つと
6+1 \2
3
a(b-1)>0
(+6?-la-62
=la'+2a||+||?-(a-b)?
=a'+2abl+6?-(a?-2ab+b9)
2a + ab
-abs-abl=labであるから
よって
ab>a
べよ。
よって
a?-ab+6°>a+6-1
[2] 1>abを示す。
(2) (1)で証明した不等式を利用して, |x-yl<|x-z|+ly-z|を選
*66 0<a<
参考
b+1
等号が成り立つのは, a=
1-ab=1-(2a-a')=a'-2
=(a-1)?
"かつ 6%=1,
②から
2
すなわち a=6=1 のときである。
0より,aキ1 であるから
(2) [1] 2al-3|6|<0のとき
|2a-36|20 であるから, 不等式は成り立つ。
[2] 2a-3|b|20のとき
両辺の平方の差を考えると
64 不等式(x+ y?<{x|+|y|<\2x?+y° を証明せよ。
-ab<lab|
lab|+ ab20
(a-1)>0
すなわち
よって
1>ab
よって,0から
la-b?<la+lb)?
a?+6?
3]
>1を示す。
2
la-b20, la+lbwoであるから
67 a>
B CLear
65(1) 不等式 α-ab+6?Na+b-1 を証明せよ。
|2a-36|2-(2a| -3|b|)2
a?+6?
la-b<la+l|
③から
--1=(a°-2a+2)-1
2
大
等号が成り立つのは, labl=-abすなわち
ab<0のときである。
=(2a-36)?-(4a?-12|a||6| +969)
=(4a?-12ab+96°) (4a°-12(ab|+96)
=12(ab|-ab)
=a'-2a+1=(a
(2) 不等式 2|a|-3|6|<|2a-36|を証明せよ。
の
