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1293項間の漸化式
2,=4,an+2=-a1+2an (n≧1) で表される数列{a,
がある。
(1)
(2)
an+2-αan+1=β(an+1-αan) をみたす 2数α, β を求めよ.
an を求めよ.
精講
an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 f=pt+q の解をα,βとして,次の2つの場合があり
ます。
(I) α≠β のとき
an+2= (a+β)an+1-aban より
an+2-dan+1=β(an+1-aan)
an+2-βax+1=α(an+1-Ban)
anをと
2次方程式を解の、とする
anをしとして
700
・①
......②
①より, 数列{an+1-Qan}は,初項 a2-way, 公比βの等比数列を表すので、
an+1-dan=βn-1 (azaar) ...... ①'
同様に,②より, an+1-Ban=α"-1 (α-βas) ...... ②'
(β-α)an=β"-1 (a2-aa1)-α"-1 (az-Bar)
(1) an+2=(a+β)an+1-aBan
解 答
与えられた漸化式と係数を比較して、
α+β=-1, aβ=-2
..
(a, B)=(1, 2), (-2, 1)
(2) (α,β)=(1, 2) として
an+2-an+1=-2(an+1-an)
an+1-an=bn とおくと
bn+1=-26
また, b=a2-a=2
n≧2 のとき,
n-1
an=a1+2(-2)-1
=2+2・
k=1
:.bn=2(-2)^-1
1-(-2) ----(4-(-2)^-')
1-(-2)
これは, n=1のときも含む.
(別解) (α,β)(2,1)として
an+2+2an+1=an+1 +2an
[123]
an+1+2an=a2+2a1 よって, an+1=-2an+8
2
---2(a-3). α-3--3
a
[124]
199
①-②' より,
8
: an+1
β”-1 (a2-aa)-α"-1 (a2-Bas)
... an=
したがって, an-0323-172(-2)*-
8
an= (4-(-2)-1)
B-a
出
注 実際には α=1(またはβ=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数
列の性質を利用します。 (本間がそうです)
ポイント
(II) α = β のとき
an+2-Qan+1=α(an+1-aan)
: an+1-aan=α"-1 (az-dai) ......③
an+2=pan+1+gan 型は, 2次方程式f=pt+g の
解α,βを利用して、 等比数列に変形し2項間の漸
式にもちこむ
An+1
an+1
つまり、数列{an+1-αan} は, 初項 α2da, 公比αの等比数列.
③の両辺をα+1でわって
an
a2-aa1
an
a²
n-1
n≧2 のとき,k+1
ak
a2day
k+1
k=1\a"
k=1
an
よって,
an
a=(n-1).az-aa
演習問題 129
a=1, a2=2, an+2=3a+1-24 で表される数列{an}があ
7月) をみたす2 数 α, βを求めよ
