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重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件)
| 次の条件を満たす整数の組(a1,a2,a3, a, as) の個数を求めよ。
(2) 0≤a₁≤a2 ≤A3≤a4≤a5≤3
(1) 0<a₁<a₂<a3<a4<a5<9
(3) a1+a2+ax+a+as ≦3, ai≧0 (i=1, 2, 3,4,5)基本3
8の8個の数字から異なる
|指針
(1) a1,a2,......, as はすべて異なるから 1,2
α5 を対応させればよい。
....
個を選び, 小さい順に a1,a2,
求める個数は組合せ C5 に一致する。
(2) (1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許
α5 を対応させればよい。
して5個を選び, 小さい順に α1,a2, ......,
求める個数は重複組合せ H5 に一致する。
(3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。
a+a2+ax+a+as+b=3
3-(a+az+a+α+α5)=bとおくと
← 等式
6≥0
また a1+a2+ax+a+as≦3から
よって、 基本例題 33 (1) と同様にして求められる。
(1) 1,2, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討
解答
さい順に a1,a2, ・・・..., as とすると, 条件を満たす組が
1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
gs=gC356(個)
(20,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び,
小さい順に a1,a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組
が1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
4H5=4+5-1C5=8Cs=56 (個)
(3) 3-(a1+az+α3+α+α5)=6とおくと
a+a+astastas+b=3,
ai≧0 (i=1,2,3,4,5),6≧0
よって、求める組の個数は、① を満たす0以上の整数の
組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取
る重複組合せの総数に等しく
6H3=6+3-1C3=8C3=56 (1)
別解 ata2+ax+a+as=k(k=0,1,2,3) を満たす 0
以上の整数の組(as, a2, a3, a, a5 の数は 5Hk であ
るから
5Ho+5H1+5H2+5H3
=Co+sC1+6C2+,C3
=1+5+15+35=56 (個)
00000
(2),(3) は次のようにして
解くこともできる。
(2) [p.384 検討 PLUS
ONE の方法の利用
bi=a;+i (i=1, 2, 3,
4, 5) とすると, 条件は
0<b₁<b₂<b₂<b₂<b<9
と同値になる。 よって、
(1) の結果から 56個
(3) 3個の○と5個の仕
切りを並べ,例えば、
|〇||〇〇||
合は (01020)
を表すと考える。
このとき,
|A|B|C|D|E|F|
とすると, A,B,C
D,Eの部分に入るQ
の数をそれぞれの
3,4, as とすれば
組が1つ決まるから
8C3=56 (1)
組
