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サクシード数学ⅡI
538
指針
背理法(数学Ⅰ で学習)を用いる。
①から 2≤3y-1≤ 2+1
各辺の2を底とする対数をとると,底2は1よ
り大きいから log22log23-1 log22 +1
10g 102 +10g103 が無理数でない, すなわち有理
数であると仮定すると
すなわち x(y-1)log23≦x+1
log102 + 10g103=
m
ゆえに
①
1
log23
1
・x+
-x+1≤y≤⋅
n
log23 log23 +1
1
(ただし,m,nは互いに素である自然数)
と表される。
したがって, Dは右の図
の斜線部分である。
y1
1
1
y=
x+
+1
log₂3 log23
10g 102 + log103 = 10g 106 であるから,① より
ただし,境界線を含む。
1
+ 1
log23
m
n
よって
log106=
6=10
両辺を乗すると 6=107
この両辺をそれぞれ素因数分解すると
2"-3" 2.5"
log:3
-log23
......
②
②の左辺は素因数5を含まないから、矛盾。
したがって, 10g102 + 10g 103 は無理数である。
540 (1) 求める平均変化率は
f(2) -f (1)
2-1
-= (2.22+2)-(2.12+1)=7
(2) 求める平均変化率は
f (2) -f (1)
-=23-13=7
2-1
539 (1)(1023, 10g39) = (10g23, 2) である。
x=log23, y=2のとき
541
(1) lim (2x+1)=2.1+1=3
x→1
(gab=6
2*+1 33-1 210g23 +1
33-1 +
2424155
なんかあれな
2*
210822-3
3 210g23
2.3 3
=-
3
+3=3
よって, (x,y)= (log23, 10g39) は,不等式
2*+1 3y-1
+
33-1 2*
-3を満たすから,点
32-1
(2) lim (36-8h+h²)=36
h→0
2 log23
(3) lim
(5+h)2-52
-=lim
3
→0
h
0
(25+10h+h2)-25
h
+
10h+h2
=lim
→0
h
=lim (10+h)=10
h-0
542 (1) f'(1) = lim-
f(1+h)-f(1)
h→0
h
(log23, log39) はDに属する。
(2) t>0 であるから,不等式 1-3 + 2≤0の両辺
を掛けると
t2-3t+2≤0
すなわち (t-1)(-2)≦0
これはt>0を満たす。
ゆえに 1≤t≤2
=lim
h-0
{2(1+h)2+(1+h)}- (2.12+1)
5h+2h2
h
=lim
h-0 h
=lim (5+2h)=5
0
(2) f'(3)=lim
f(3h)-f(3)
h-0
h
=lim
110
{(3+h)3-3(3+h)}-(33-3-3)
h
24h+9h²+h³
=lim
h-0
h
したがって 1≤t≤2
3y-1
2*
(3)t=- とおくと, 2'03-10 から
t>0
このとき,Dを表す不等式は
2
44 +13 すなわち t-3+/4/20
543
= lim (24+9h+h2)=24
h-0
(1) y = 0
(3) y'=3.2x+7=6x+7
(2)y=5
3'-1
ゆえに, (2) から, 1≦
-M2...... ①が成り
23
(4) y=-1/233x2=-2x2
立つ。
(5) y'=4x3-5.2x=4x10x
