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okakaka<a<a<9
次の条件を満たす整数の組 (a1,a2, 3, 4,
重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件)
(2) 0≤a≤a2a3 a4 a5≤3
α5) の個数を求めよ。
0000
基本32
88
3個の数字から異な
異なる
4個の数字から重複を
解答
(1) Kaz
(3) aitaztastastas≦3, a≧0 (i=1,2,3,4,5)
指針 (1) α1, 2,..., as はすべて異なるから, 1, 2, ・・・・・,
個を選び,小さい順に,a1,a2, ..., as を対応させればよい。
求める個数は組合せ Cs に一致する。
(2)(1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1, 2, 34
して5個を選び,小さい順に aaaa5を対応させればよい。
求める個数は重複組合せ&Hs に一致する。
(3)おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。
ataztastastas+6=3
3-(a+a2+as+a+αs) =bとおくと
また, a+az+αs+a+αs≦3から
b≥0
よって、 基本例題 33(1) と同様にして求められる。
(1) 1, 2,......, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小
さい順に a1,a2, ....., 45 とすると, 条件を満たす組が
1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
8C5=8C3=56 (個)
(2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び,
小さい順に α1, 2, ......, as とすると, 条件を満たす組
が1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
4Hs=4+5-1Cs=8C5=56(個)
(3) 3-(a1+a2+as+a+αs)=bとおくと
a1+a2+as+a+as+b=3,
ai≧0 (i=1,2,3,4,5),60
......
①
よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の
組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取
る重複組合せの総数に等しく
6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個)
別解 a1+a2+as+a+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす 0
以上の整数の組 (a1, A2, 3, 4, 5) の数は5Hであ
るから
5Ho+5H1+5H2+5H3
=4Co+5C1+6C2+7C3
=1+5+15+35=56 (個)
検討
一等式
(2),(3)は次のように
解くこともできる。
(2) [p.384 PLU
ONE の方法
bi=aiti(i=1,2
4, 5) とすると,
0<bı <b<by<br<
と同値になる。』
(1)の結果から
(3)3個の○と
切りを並べ、例
||0|100||
合は(0,1,0,
を表すと考える
このとき
A|B|C|D
とすると,A,
D, E の部分に
の数をそれぞ
a3, 4, as と
組が1つ決ま
8C3=56(
5桁の整数nにおいて, 万の位, 千の位, 百の位、十の位、一の位の数字を
a, b, c, d, e とするとき, 次の条件を満たすnは何個あるか。
(1) a>b>c>d>e
_3) a+b+c+d+e≦6
(2) a≧bcd≧e
