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例題 229 最大値・最小値から3次関数の決定 ★★★
0<a<3とする。関数f(x)=2x-3ax²+b (0≦x≦3) の最大値が10, 最小値
が18のとき,定数a, bの値を求めよ。
例題223
① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。
②① の増減表から最小値はわかるが, 最大値は候補が2つ出てくる。よって, その最大
値の候補の大小を比較し,αの値で場合分けをして最大値をα, b で表す。
2SXX
f(x)=6x2-6ax=6x(x-a) f'(x)=0 とすると
x=0, a
0<a<3 であるから, 0≦x≦3における f(x) の増減表は次の
ようになる
x
f'(x)
f(x)
0
ゆえに
b
a
また,
f(0) f (3) を比較すると
0 + 1+0nieS1-0'niz0+28-
極小
b-a³
よって, 最小値は f(a)=b-a であり 1=S1-x$1+xS=
6-a³--18
1+0niaST-OS 2o E-nia8-(0)1
niz31-(0'niaS-1)
......
1
最大値はf(0) = 6 またはf (3)=6-27a+54
2 S20203> x=0ofe
76-27a+54
1±√105
2
f(3)-f(0)=-27a+54=-27(a−2)
0<a<2のとき
(0) (3)
2≦a <3 のとき (3) f(0)
[1] 0<a<2のとき,最大値は f(3)=6-27a+54
よって 6-27a +54=10 すなわち 6=27a-44
これを①に代入して整理すると
a³-27a+26=0
ゆえに (a-1)(a²+a-26)=0
よって
a=1,
0<a<2 を満たすものは
このとき, ① から
[2] 2≦a <3 のとき, 最大値は f(0)=b
よって
b=10
これを①に代入して整理すると a³=28
283" であるから.α="283 となり、不適。
[1],[2] から
a=1,b=-17
a=1
b=-17
最小値-18
最大 最小
(th極値と端の値に注意
大小比較は差を作れ
S200x=Onla
(最大値) = 10
因数定理による。
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#(0)1 430
場合分けの条件を満
たすかどうかを確認。
(最大値) = 10
6章
36
場合分けの条件を満
たすかどうかを確認。
最大値・最小値
