OO0。
(2), (3) (1)と似た形である。そこで,(1)の結果を利用することを考えるとよい。
指針> (1) 例題 28 と同様に,(差の式)20は示しにくい。
基本 例題29 絶対値と不等式
(3) la+b+c\<\a\+\bl+,
次の不等式を証明せよ。
(1) la+b|sla|+|b|
(2) lal-|b|sla+b|
基本28
1AF=A°を利用すると,絶対値の処理が容易になる。そこで
A20, B20のとき
A2B→A2B'→A-B'20
CHART似た問題 1 結果を利用
2 方法をまねる
解答
4|AP=A°
4ab|=la||
1(1)(la|+||)°-la+bf=q°+2la||6|+8-(a°+2ab+6°)
=2(lab|-ab)20
la+ofs(la|+||)°
よって
la+b|20, la|+|6|20から
別解 一般に,-la|<aslal, -|b|sbs|b| が成り立つ。
この不等式の辺々を加えて
4この確認を忘れずに。
4A|2A, IA|2-Aから
ーIA|SAS|A
la+b|<la|+|b|
ー(lal+||)Sa+bsla|+|||
la+blsla|+|b|
(2)(1)の不等式でaの代わりにa+6, bの代わりに-6と
-BSASB
→A|SB
したがって
イズーム UP 参照。
おくと
よって Jalsla+b|+||
別解 [1] lal-Tb<Oのどぎ
la+b|20であるから,lal-|6|<la+b|は成り立つ。
[2] lal-|b|20 のとき
la+bf-(lal-lb|)°=d+2ab+8-(α°-2|a|||+6°)
ゆえに lal-|b|<|a+bl
lal-|||<0sla+o
[2] の場合は,(2)の左辺
右辺は0以上であるから、
(右辺)-(左辺)20を示
す方針が使える。
=2(ab+lab|)20
(lal-|6|0°<la+6?
よって
la|-|b|20, la+b|20であるから
[1], [2] から
lal-|b|<|a+b|
