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重要 例題 93 2つの等差数列の共通項
の2つの数列に共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列a
等差数列{an}, {bn}の一般項がそれぞれ an=4n-3, bm=7n-5であるとき、こ
の一般項を求めよ。
指針> an=1+A(n-1) であるから, 数列{an}の初項は1,公差は 4.
bn=2+7(n-1) であるから、 数列 (6m}の初項は 2, 公差は7である。
具体的に項を書き出してみると
+4は7回
+ +4 +4 +4 +4 +4 +4
(an): 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 6
30. 37, 44, 51, 58,
23,
16,
{bn}:2,9.
+7 +7
+7
+7
+7は4回
よって{cm) 19, 37,65, ……… となり、これは初項 9. 公差 28 の等差数列である。
公差 47 の最小公倍数
このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからない
(相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率である。 そこで, 1次不定方程式 (数学
A) の解を求める方針で解いてみよう。
a=b
共通に含まれる数が,数列{an}の第1項,数列{bn}の第m項であるとすると
よって, l, m は方程式 41-3=7m-5 すなわち 4l-7m=-2の整数解であるからます
この不定方程式を解く。 .........
解として,例えば,l=kの式)が得られたら、これをa=41-3の1に代入すればよい。
ただし,kの値の範囲に注意が必要である (右ページの検討 参照)。
a=bm とすると 41-3=7m-5
よって
4l-7m=-2
①
l=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから
4(+4)-7(m+2)=0
******
4(7k-4)-3-28k-19
求める一般項は, k を n におき換えて
65. ****
ゆえに 4(+4)=7(m+2)
4と7は互いに素であるから, kを整数として
l+4=7k, m+2=4k
すなわち
l=7k-4, m=4k-2 と表される。
ここで, l, m は自然数であるから, 7k - 4≧1 かつ 4k-2≧1
よりは自然数である。
よって,数列{cm}の第k項は,数列{an}の第1項すなわち第
(7k-4) 項であり
Cn=28n-19
<l=3, m=2 とした場合は
検討 参照。
かつ
満たす整数であるから自
然数である。
数列{bn}の第m項すなわ
ち第 ( 4k-2) 項としてもよ
い。
