91 a, b を定数とする。 f(x) =
ax+b
x+x+1'
g(x) = x-2x-x+2 とする。 すべての実数xで
g(f(x)) ≧0 が成り立つような点 (a, b) の範囲を図示せよ。
(京都大)
g(f(x)) ≥0
...
・① とおくと
{f(x)}-2{f(x)}-f(x)+2≧0
{f(x)-1}[{f(x)}-f(x)-2]≧0
{f(x)-1}{f(x)-2}{f(x)+1}≧0
よって, すべての実数xで① が成り立つための条件は,すべての実数
xで -1≦f(x) ≦1 ・② または 2 ≦ f (x) ... ③
が成り立つことである。
ただし, f(x) は連続な関数であるから, ② ③のいずれか一方のみが
成り立つ。
(ア)
すべての実数xで②が成り立つ条件を考える。
(f(x)の分母)=x'+x+1=(x+1/2)
=(x+1/+1/4>
2 3
>0であるから,②は
-(x²+x+1)≦ax+b≦x²+x+1
これは
x2+(a+1)x +6 +1 ≧ 0 かつx-(a-1)x-6+10
すべてのxでこれらの不等式が成り立つための条件は,
2次方程式 x+(a+1)x+6+1=0, x-(a-1)x-6+1=0 の判
別式をそれぞれ D1, D2 とすると D1 ≦ 0, D2 ≦0
②の各辺に
x + x + 1 > 0 を掛ける。
不等号の向きは変わらな
い。
よって
D1 = (a+1)2-46 + 1) ≦ 0 より
6≧/1/(a+1)°-1
D2 = (a-1)2-4(-6+1)≦0 より
6 ≦
b=-1/2 (a-1)°+1 ... ⑤
(イ) α = 0 のとき,どのようなもに対しても十分大きなxにおいて
f(x) <2 となる。 また, a≠0 のとき, どのような6に対しても
b
x=-
a
のとき(-6)=0
6)=0であ
るから,すべての実数xで③が成り
立つことはない。
(ア)(イ)より, すべての実数xで
b=/(a+1)-1
46
f(g(x)) ≧0 が成り立つような点
(a, b) の範囲は, 右の図の斜線部分。
ただし,境界線を含む。
・1
b=-1(a-1)2+1
a
2つのグラフの交点は
(√3, 3/4).
(-1, -12/28)である。
-√3,
