例題 70 最大最小からの係数決定大量の関
関数 f(x) = ax-2ax+bの-1≦x≦2における最大値が5,最小値
が1となるとき,定数 α, b の値を求めよ。
« Re Action 文字係数の関数の最大・最小は,xの係数で場合分けして考えよ〈例 (1
ORNAS no A
場合に分ける
y=f(x)のグラフを考えたいが
問題文では,単に「関数f(x)」となっており, f(x) は2次関数とは限らない。
a=0のとき･･・・ 放物線ではない。
ALLSEA
y=f(x) <
a> 0 のとき･･･下に凸
a=0のとき放物線
α<0のとき･･･ 上に凸
上に凸か?
下に凸か?
Action » 最大・最小からの2次関数の係数の決定は, グラフの向きに注意せよ
解 (ア) α =0のとき
DOMESHA
例題
f(x) = b となり, 最大値 5, 最小値1となることはない
61
Re Action 例題 68
から、不適。
(x)
「2次関数の最大・最小は、
(イ) a>0 のとき
グラフをかいて考えよ」
f(x)=a(x-1)² -a +6
y
y=f(x)のグラフは下に凸の放物
線であるから, f(x)はx= -1 で
最大, x=1で最小となる。
軸が直線 x = 1,頂点が
点 (1, -a+b) の放物線
である。
よって
f(-1)=3a+b = 5
定義域は -1≦x≦2
であるから,軸から遠い
方の端点 x=-1 のとき
最大となる。
f(1) = -a+b= 1
ゆえに
a=1,6=2
O 1 2
これは a > 0 を満たすから適する。
(ウ) α <0のとき
■場合分けの条件α > 0
を満たすかどうか確認す
る。
y=f(x)のグラフは上に凸の放物
y
線であるから, f(x)はx=1で最大, -a+b
x=-1で最小となる。
b.
軸から遠い方の端点
x=1のとき最小とな
る。
よって
f(1) = -a+b= 5
f(-1)=3a+b=1
ゆえに
a=-1,6=4
これは α<0 を満たすから適する。
(ア)~ (ウ)より, a, b の値は
場合分けの条件a < 0
を満たすかどうか確認す
る。
Ja=
=1 Ja=-1
16=2,
16=4
思考プロセス
-3a+b
lb
-a+b
3a+b
-101
L=/C
