3
となるので,①は成り立つ。
1
1
+... +
<2-
12
22
ne
n
1
n=2のとき,
1
+
5
12
4
22
,
1
=
2-
2 2
n=k(k≧2) のとき, ①が成り立つとすると,
1
1
1
・+・・・+
<2-
12 22
k2
k
①でn=k+1とした式
1/3+/12/2++//+(k+1)=
1
1
1
<2
3
k+1
を②から導けばよい.
ここで,②③の左辺どうし,右辺どうしの差を不等号で結ぶと,
(k+1)2 < (2-1+1)-(2-1)
4
④が成り立つことが示せれば, ② + ④ から ③ を導くことができる.そこで, ④
を示すことを目標にする. そのためには, (④の右辺) (④の左辺) > 0 を示せ
ばよい.
=
(2)-(2)-(1)
(k+1)2-k(k+1)-k
k(k+1)2
1
1
1
1
k
k+1
(k+1)2
1
>O
k(k+1)2
よって、 ①は数学的帰納法によって証明された.
注②の両辺に
1
(k+1)2
を加えると,
1 1
1
12
+ +…+ +
22
k2
1
(k+1)2
1
<2- +
k
(k+1)2
1
1
これから 2 +
<2-
k
(←④) を示せばよいとしても
(k+1)2
k+1
よい。
15 演習題 ( 解答は p.78)
←
③の左辺は、②の左辺に
1
(k+1)2
を足したものなので
②と③の差に着目する.
<a<bかつc <d
⇒ atc<b+d
という不等式の性質を用いている。
1+√2+√3+√m
数列 {a} を am=
で定める.このとき, すべての自然数nに
n
2n
3
ついて、不等式 2/ <a が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。
帰納法の使いやすい形に
(信州大・医一後)
して証明する.
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