積分の体積の問題です 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 226 123 回転体でない体積(ⅡI) 2⑦ 次の問いに答えよ. 12 (1) 定積分 1fpdt を求めよ。 (2) 不等式 z'+y2+log (1+22) log2 ......(*) で表される立体Dにつ いて (ア) 立体Dを平面 z=tで切ることを考える. このとき, 断面が存在 するような実数十のとりうる値を求めよ. (イ)(ア)における断面積をS(t) とする. S(t) をtで表せ. 立体Dの体積Vを求めよ. (ウ) 第6章積分法 精講 (1) 分数関数の定積分は,次の手順で考えます。 ① ｢分子の次数<分母の次数｣ の形へ ② f(x) ③②の形でなければ、 分母の式を見て 因数分解できれば, 部分分数分解へ (89 因数分解できなければ, tan0の置換を考える (90) (2) 立体Dの形が全くわかりませんが, 122 によれば断面積を積分して求めら れます。 だから立体の形がわからなくても、断面積が求まれば体積は求めら れるのです.そのときの定積分の式を求める作業が(イ)で, 定積分の範囲を求 める作業が(ア)になっています。 1+t2 "'(x) 解 答 (1) Softpdt=f'(1-14ps) at=1-So1tradt 1+t2 ここで, Softpdt において,t=tan0 とおくと 90(1) = S₁³ do = 7 4 -dxの形を疑う (89) 1+t2 t0→1 dt TL 1 do 00-E docosey だから、∫otpad="1+lando cos2d よって,Strat=1- 1+t2 π (2) (ア) (*) z=t を代入して ²+y² ≤log2-log(1+t²) ......① この不等式をみたす実数工、リが存在するこ これが断面が存在す とから, るということ log2-log (1+t²) ≥0 2≥1+t² = 1²≤1 " -1≤t≤1 立体Dの平面 z=t (-1≦t≦1) による断面はxy平面上の不等 式①で表される図形で,これは (半径) が log2-10g(1+1)の円の (イ) 周および内部を表すので 22² +7² {/² S(t)=z{log2-log(1+t)} (→) V=r{log 2-log(1+t²)}dt =2zf"{log2-10g(1+t)}dt =2zlog2-2x(t)'log(1+t)dt =2xl0g2-2x|tlog(1+t)+ 25 24 psdt 21² =4nf1+₁ dt-4(1-4)=(1-x) 4π 1+t2 2 ポイント 演習問題 123 ◆これが z=tで切る ということ 227 <S(t) は偶関数 87 (1) 部分積分 2 注∫_{log2-log(1+t^2)}dt = f_log1fFdtと変形してしまうと 定積分は厳しくなります。 回転体でない体積の求め方は I. 基準軸をとって ⅡI. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積 を求めて ⅢI.ⅡIの断面積を積分する y≧0≦z≦1で表され 4つの不等式x+y-z, る立体Dについて,次の問いに答えよ. (1) 立体Dの平面 z=t による断面の面積S(t) をtで表せ. (2) 立体Dの体積Vを求めよ. 79 第6章

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224 第6章積分法 122 回転体でない体積(I) XC 底面が半径①の円で高さ 1の円柱がある.この円柱を底面の円の直径 AB を含み, 底面と45°の角度をなす平面で切ると, 大, 小2つの立体に 分かれる。このとき小さい方の立体の体積を求めよ 今回は回転体でない立体の体積ですが,基本的には回転体の体積と 1 において 同じ考え方です. たとえば, 116 の V₁=1 =xf (f(x)}dx という式がかいてありますが、π(f(z))とは、 半径f(z) | の円の面積のことです. すなわち, 立体図形を回転軸に垂直な平 精講 面で切ったときの断面積です. だから, 軽いタッチでいえば, 体積は (断面積) dx で表せる わけです。この考え方を使って体積を求めますが,立体をどこで切るかを判断 するとき,断面積が求められるような切り方をしないといけません。 A. <図1> 0 45° 1 B 解答 <図II> O B DC y (II) ² 1-t² 底面の円の中心を原点Oとし, AB方向に軸を定める. すなわち, A(-1, 0), B(1, 0) とする. 次に、小さい立体の底面の半円の弧がy≧0の領域にあるように軸 をとる. 〈図ⅡI> このとき, (t, 0) (-1≦t≦1)を通り, x軸に垂直な平面で切ると, その断面は, 〈図Ⅲ〉のような直角二等辺三 その面積をSとすると, S=12 (1-1) v-fsdt=20-dt-fa-a V= =1- 注 基準軸のとり方は1通りとは限りません. ちなみに、この立体の 自場合,軸の方を基準軸にしても体積は求められます。(別解 (図IV> (別解) 点 (0, t) (0≦t≦1) を通り、軸に垂 直な平面で切ると断面は〈図Ⅳ>のような長方 形で,その面積は2tv1ーゼ :. V=S2t√/1-P² dt ポイント だから, 演習問題 122 =-fa-ty√1-² dt =- [ ²3 (¹1-1²) ²1' = ²/3 225 ハード 回転体でない体積の求め方は I. 基準軸をとって Ⅱ. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積 を求めて III.ⅡIの断面積を積分する xy平面上に円C:x2+y^2=1 がある.軸上の点T (t, 0) (-1≦t≦1) を通り,x軸に垂直な円Cの弦を PQ とする. このと き、PQを1とする正三角形 PQR を ry平面に垂直になるよう につくる. 次の問いに答えよ. 19 (1) △PQR の面積Sをtで表せ. (2) tが1から1まで動くとき, PQR がつくる立体の体積V 第6章

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基礎問 220 第6章 積分法 120 回転体の体積 (V) 曲線 y= (vi-va) (x≧0, a>0) について,次の問いに答えよ. (1) この曲線のグラフをかけ. (2) この曲線と y=α によって囲まれた部分を直線y=a のまわりに 1回転してできる体積を求めよ. (1) 75 をもう一度読みかえしてみましょう. 今回は, 極値 を求める必要がありますから, y' は因数分解することになります. .......... それならば,このまま微分した方がよいでしょう. (2)今まで学んだ回転体の体積は、回転軸がx軸かy軸でした。今回は、y=a です.いったいどのように考えればよいのでしょう。 目標は, 「回転軸をx 軸に重ねる｣ことです. 精講 (1) x>0 のとき y'=2(√x - √a). (√x - √a)=x^² (√x - √a) 1-√a =1- 解答 x→+0 ->0 I √a 2x√x よって, グラフは下に凸で,増減は表のようにな り, limy'=-8, limy =∞ よりグラフは右図. 218 0 ... a y' 4 a 0 + V 20 (2) 曲線と直線y=α の交点のx座標は (√x - √a)² = a√x - √√a = ± √a √x=0, 2√a :: x=0, 4a 8/4 a 10 x=0のとき､ y'の分母= 0 となるので a 注 limy' を調べているのは, y' が x=0 で定義されていない, すな x→+0 わち, 微分可能でないからです. このことは, グラフにおいて点 (0, a) でy軸に接するようにかかれている部分でいかされています。 IC 求める体積Vは〈図Ⅰ>の斜線部分を直線y=a のまわりに回転させ! た立体の体積だから、この図形を軸の正方 向に-4だけ平行移動した <図II〉の斜線部 (141) 分をx軸のまわりに回転すればよい。 "". V=1 = πf^^{(√x - √a)²-a³dx = n₁²(x-²√a √x)²dx 演習問題 120 *4α = nſ₁² (x² − 4√a x² + 4ax) dx ポイント x³ 8√a 5 5 8.25 = π[3³ = nα² (43 4³ 242 15 = ・+2・4 5+2.4²) -ла³(10-24+15) -x²+2ax² πa³ 14g YA 0 a 221 32 15 数学ⅡI・B48 ポイントによれば, 平行移動の公式は次の通り。 注 y=(√x-a-a y=f(x) をx軸の正方向にp,y軸の正方向に qだけ 平行移動すると, y-q=f(x-p) となる. Anx 回転軸がx軸やy軸でないとき, 平行移動して回転軸を軸や軸に重ねる (1411) 4 エ y=cosx のグラフと, 点 (0, 1) と点 (2m, 1 ) を結ぶ線分で囲ま れた領域を直線y=1のまわりに1回転してできる立体の体積V を求めよ. 79 第6章

(3)の　　注　　でグラフを書けばa=0が予想できますと書いてあるんですが　わからないです　aは何を表しているんです　 回答よろしくお願いいたします🤲

基礎問 142 第6章 微分法と積分法 89 共通接線 TA (1 21+xl-³x6 — ²x=(1)\ 2つの曲線 C:y=x', D:y=x2+px+q がある. (1) C上の点P(α, α3) における接線を求めよ X(2) (2) 曲線DはPを通り, DのPにおける接線はと一致する. こ のとき, pgをaで表せ. -- (3) (2) のとき,Dがx軸に接するようなαの値を求めよ. 26h

(2)で　 2枚目の回答の右下の(①より)が活躍しているのかがわかりません なぜ書いてあるのでしょうか　回答よろしくお願い位いたします

基礎問 142 第6章 微分法と積分法 89 共通接線 2つの曲線 C:y=x3, D:y=x2+px+q がある. (1) C上の点P(α, α) における接線を求めよ. (2) 曲線DはPを通り,DのPにおける接線は1と一致する。こ のとき, b,g をaで表せ (3) (2)のとき, Dがx軸に接するようなαの値を求めよ. 精講 126m (2) 2つの曲線C,Dが共通の接線をもっているということです

一次関数の方程式とグラフというところです。 答えを見ても理解出来なかったので解説をお願いします🙇‍♀️

CA①② -なさい。 -4 JC (3) x=-9はそう! C 説明力をのばそう! 4 方程式のグラフ 19日② 解くときのカギ 方程式x-5y=2について,次の問yについて解くと, いに答えなさい。 (1) グラフを,座標が整数の組になる2点 を求めてかくことにする。式をxにつ いて解き,座標が整数の組になる点の見 つけ方を説明しなさい。 とする。 It x=2+5g交 マル 記述問題の○つけコーナー 説明: (例) x=2+5y で , TELE y=0 のとき, x=2+0=2 y=-1のとき, x=2-5=-3 よって,2点(2,0), (-3,-1)を通る。 (2) グラフをかきなさい。 y -5 これでOx=2+5yに整数のyの値を代入して,座標が整 数の組になる点を具体的に2つ書こう。 mo 一数の組を 座標 という。 5 0 5 1 y= 55 この式からは,座 標が整数の組にな る点を見つけにく い。 JC (5 解くときのカギ に整数の値を 代入して,座 標も整数になる ようなx,yの 値の組を見つけ, グラフをかく。 一次関数 4章 図形の調べ方 5章 図形の性質と証明 6章場合の数と確率 7章 箱ひげ図とデータの活用 2年 69

このような公式があるのですが、例17のような使い方は普段行いませんか？普通に解いた方が早い気がするのですが。

10 15 関数の定数倍および和, 差の定積分 1_ S'kƒ (x) dx = kſ˚ƒ (x) dx a 例 2 S {f(x) + g(x)} dx = Sof(x) dx +S*g(x) dx a 151 17 3_S^{f(x) = g(x)} dx = $²6. ・2 S²₁ (x² −5x+4) dx = S²₁₁x²dx=55²_₁x dx + 45 ²³ d dx = -1 .2 12 x² -[L-L+41₁ 2 = kは定数 b f(x) dx-S*g(x) dx .3 12 X [64]+= 3/2 15 2 12 2³ − (−1)³_5{2²−(−1)²} +4{2−(−1)} pel 終 6章 微分法と積分法

136の②で解答では白玉が1個出た場合と0個出た場合を合わせた値になっていて自分は1個出た場合と0個出た場合に分けて考えたのですが自分が出した値を足しても解答の値にならないのがなぜか知りたいです。

31 解答 ★★★★★★ 5枚の10円硬貨を同時に投げて表の出た硬貨を受け取るゲームがあ る。 このゲームの参加料が1回30円のとき, このゲームに参加するこ とは得であるか, 損であるか。 ゲームに参加したときに受け取る金額の期待値は 0x (12) +10×C 1/2(12) +20×C (12) (12) = TO 期待値 139 +30×5C3 sc (1/2)^(1/2)+40×2C (12/11/1/2+50×(12) +40X5C4 10.5 +20・10 + 30 ・10 + 40・5+50 25 -=25 (円) これは参加料 30円より少ないから、ゲームに参加することは損である。 0X 000 B 120 りおるか *134 3 枚の硬貨を同時に投げて表が3枚出たら100点, 2枚出たら50点を獲 得し、1枚のときは60点を 1枚も出ないときは70点を失うものとする。 1回硬貨を投げるときの得点の期待値を求めよ。 63.63833 135 さいころを1個投げて, 偶数の目が出たときはその目の枚数だけ 10円硬 貨がもらえ、奇数の目が出たときはその目の2倍の枚数だけ 10円硬貨が もらえるゲームがある。 このゲームの参加料が1回60円であるとき, こ のゲームに参加することは得といえるか。 例題 31 ① 赤玉1個につき250円をもらう。 ② 白玉が2個出たときだけ 2000円をもらう。 COLOUT 136 赤玉3個、白玉2個が入った袋から玉を1個取り出してはもとにもどすこ とを3回行う。次の2つの場合のうち、どちらを選ぶ方が得か。 B clear 137 A, B の2人の試合において, 先に3勝した方に賞金400円が与えられる。 ところが,A が2勝, Bが1勝したところで, 以後の試合を中止した。そ こで、試合を続行するとしたときの, A, Bそれぞれの得る賞金額の期待 値を分配することにした。賞金をどのように分配すればよいか。ただし, A,Bの勝つ確率はいずれも1/12/3とする。 第1章 場合の数と確率

θの値がなぜこの２つになるのか教えてください！

基礎問 194 第6章 積分法 107 面積 (IV) xy平面上の曲線 y=sinx と3直線 y=sino, x=0,r="とで囲まれる図の斜 線部分の面積をS(0) とする. ただし, π 0≤0≤7/2 とする. (1) S(0) を求めよ. (2) S(0) の最小値とそのときの0の値を求めよ. y y=sin.x 0 y=sin TIC 2 MA しているかすぐにわかる

数学のAの質問です 71の(1)(2)、74の(1)(2)の問題の解き方について教えてください!

同じ条件のもとで繰り返すことができ, その結果が偶然によって決まる実験や観測を 試行という。 また、試行の結果として起こる事柄を事象という。 ◆試行と事象 1 2 1つの試行において、起こりうる結果全体を集合Uで表すとき, U自身で表される事 象を全事象, Uのただ1つの要素からなる集合で表される事象を根元事象という｡ ◆確率 るとき,これらの根元事象は同様に確からしいという。 同様に確からしい ある試行において,どの根元事象が起こることも同程度に期待でき ある試行におけるすべての根元事象が同様に確からしいとする。こ のとき,事象Aの起こる確率P(A) は 事象 A の確率 事象 A の起こる場合の数 n(A) P(A)=起こりうるすべての場合の数n(U) LA TRIAL □ 71 次の問いに答えよ。 p.41 例 10 (1)10円硬貨1枚,50円硬貨1枚,100円硬貨1枚を同時に投げるとき, 表裏の出方をすべて示せ。 ただし, Uは全事象 (2) 赤,青,白,黒の4色の玉が1個ずつ入った袋がある。同時に2個の玉 を取り出すとき,玉の出方をすべて示せ。 A □2 1個のさいころを投げるとき, 次の場合の確率を求めよ。 (1) 4以下の目が出る確率 (3) 6の約数の目が出る確率 (2) 3の倍数の目が出る確率 ■ 赤玉2個と白玉4個の入った袋から玉を1個取り出すとき, 白玉の出る 確率を求めよ。 →教p.42 例 11 →教p.42 例 11 4枚の硬貨を同時に投げるとき,次の場合の確率を求めよ。 (1) すべて裏が出る。 (2) 1枚だけ表が出る。 小 →教p.42 例 12 「少なくとも1枚だけ表が出る」 (すべて表以外) 育ってきました。 1- 10 英文を揃えやすい! に合わせる事で英文がキレイに。 土曜日の朝に 105 場合の数と確率