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基本例題65 3次方程式が2重解をもつ条件
3次方程式x3+(a-2)x²-4a=0が2重解をもつように、 実数の定数αの値を定
めよ｡
[類 東北学院大]
基本63
指針 方程式 (x-3)(x+2)=0の解x=3を, この方程式の2重解 という。 また
方程式(x+2)(x-2)=0の解x=-2を,この方程式の3重解という。
まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)×(2次式)=0 の形に直す。
方程式が (x-α)(x2+px+q)=0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は
[1] x2+px+q=0が重解をもち,その重解はx=α
[2]x2+px+q=0がαとα以外の解をもつ。
→ 2重解はx=α
であるが,一方の条件を見落とすことがあるので、 注意が必要である。
0
解答
与えられた3次方程式の左辺をαについて整理すると
(x2-4)a+x3-2x2=0
fr
(x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0
(x-2){x2+(x+2)a}=0
7²-56-06-
(x-2)(x2+ax+2a)=0
なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが, 重解がxキαである (x = αが3重解で
はない)ことを必ず確認するように。
a
-キ2から
2.1
CD=3+
x-2=0 または x2+ax+2a=0
よって
この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または [2] の場
82=18
30
合である。
DIRO
[1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ。
2次方程式
D = 0 かつ
判別式をDとすると
Ax2+Bx+C=0 の重解は
D=α²-4・1・2a=a(a−8)であり, D=0 とすると α=0,8 B)
ここで,
aキー4
a=0, 8はαキー4 を満たす。
[2]x+ax+2a=0の解の1つが2で、他の解が2でない。
2が解であるための条件は
22+α・2+2a=0
これを解いて
a=-1
このとき, 方程式は
したがって
ゆえに,x=2は2重解である。
以上から
a=-1, 0, 8
a
2･1
≠2
(x-2)(x-x-2)=0
(x-2)^(x+1)=0
A
次数が最低のについて
整理する。 また
P(x)=x³+(a-2)x²-4a
とするとP(2)=0
よって, P(x) は x-2を因
数にもつ。
これを利用して因数分解し
てもよい。
0=2+88
105
x=-
()24
2章
① について
11
高次方程式
[2] 他の解が2でないとい
う条件を次のように考えても
い。
他の解をβとすると,解と
係数の関係から 2β=2a
β=2 から a=2
