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·(3n-2)x"
1-x
すなわち
(1-x)S=
1+2x-(3n+1)x"+(3n-2)x +1
1-x
したがって
S=
1+2x-(3n+1)x"+(3n-2)x+1
(1-x)2
第 1/12m(n+1)項
(2)第1群から第n群までの項数は
1
man(n+1)であるから,第100項か
るとすると
(n-1)n<100(n+1
68 (1) 第群は2"-1個の自然数を含むから,第
よって
(n-1)n <200≦n(n+
n群の最初の自然数は, n≧2のとき
(1+2+ ....... +2"-2)+1=
2"-1-1
+1
2-1
=2"-1
13.14182, 14・15=210 である
す自然数nは n=14
第1群から第13群までの項数は
・13・14=91
2
これはn=1のときも成り立つ。
したがって、 第2群の最初の自然数は 2"-1
(2)500が第n 群にあるとすると
2"-1500<2"
2°=256,2°=512であるから, ① を満たす自然
n=9
数nは
500
群の第項であるとすると
m=245
29-1+(m-1)=500から
よって 第9群の第245項
(3) 第群にある自然数の列は初項が2"-1 末項
69
59
2-1 項数が2"-1の等差数列である。
よって, その和は
(21.2"-2"-1+2"-1)=2"-"(3.2"-1-1)
■指針
繰り返しの規則性がある数列
ゆえに、 第 100項は第14群の10
の数である。
よって, 第100項は 92=81
(3) 第群にあるすべての自然数
12+2+......+n2. = n(n.
したがって, 第13群までにある
の和は
13
13
½ kk + 1x(2k+1)=
k=1
=1/2(1/2-13-14)2 +3.1/1.1
11
.
・13・14(13.14 +27-
繰り返しの切り替わりの場所に仕切りを
入れて, 群に分けてみる。
よって, 初項から第100頃ま
3185+(12+22+...
=3185+
-9-10-1
(1) n2 が初めて現れるのは,第2群の末項で
ある。
(2)第100項が第何群の第何かを求める。
この数列を、次のように第n群が個の数を含
むように分ける。
11, 41, 4, 91, 4, 9, 16
1. 4. 9, 16, 25 1,
すなわち
11. 2213 22.3 12, 22, 32, 42|
70 分母が同じ分数を1つの
うに分ける。
2
1
6'6
2
2 3
4'4
第1群から第群までの項
1+2+..
