第3章 図形と方程式 137
EX
A5, 1), B2, 6) とする。 x 軸上に点P, y軸上に点Qをとるとき, AP+PQ+QB を最小にす
③75
る点P, Qの座標を求めよ。 また, そのときの最小値を求めよ。
x軸に関して A と対称な点を A',
y軸に関してBと対称な点をB'
とすると,その座標は
A'(5, 1), B'(-2, 6).
このとき AP+PQ+QB
YA
B'6h B
x軸に関して対称な点
1
→y座標の符号が変わる。
y軸に関して対称な点
3章
-20
2
EX
=A'P+PQ+QB'≧A'B'
→x座標の符号が変わる。
よって, 4点A', P, Q, B' が一直線
直線 A'B' の方程式は y-(-1)=-
上にあるとき, AP+PQ+QB は最小になる。
6-(-1)
←2点A', B' 間の最短
経路は, 2点を結ぶ線分
A'B' である。
(x-5)
-2-5
すなわち
y=-x+4
直線 A'B' とx軸, y 軸の交点を, それぞれ Po, Qo とすると,
その座標は Po (4, 0), Qo(0, 4)
また. 2点A'. B'間の距離は
A'B'=√(-2-5)2+{6-(-1)}=√(-7)2+72=7√2
したがって, AP+PQ+QB は,P(4, 0), Q(0, 4) のとき,
最小値 72 をとる。
