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例題 324 数学的帰納法 〔5〕… 漸化式から一般項を推定して証明 ★★★☆
a1 = -1, an+1
=an2+2nam-2 (n = 1, 2, 3, ...) で定められた数列
{a}について
(1) 2, 3, a をそれぞれ求めよ。
(2){a}の一般項を推定し, その推定が正しいことを,数学的帰納法を用
いて証明せよ。
思考プロセス
規則性を見つける
a1=-1
②より
a2=
⑦より
-
an = f(n) と推定
a4=
⑦ より
⑦ より
⇒ 推定が正しいことを数学的帰納法で示す。
[1] n=1のとき正しいことを示す。
[2] n=kのとき正しいと仮定して,
...=f(k+1) を示す。
koken=k+1のとき より 4k+1=...
noibA
Action» 複雑な漸化式で表された数列の一般項は,推定し数学的帰納法で示せ
解 (1) 与えられた漸化式に, n = 1, 2, 3 を順に代入すると
a2= a +2・1・α1-2=(-1)+2・(-1)-2=-3
as = az2+2・2・az-2= (-3)2+4・(-3)-2=-5
a = a32+2・3・α3-2=(-5)2+6・(-5)-2=-7
(2)よりan = -2n+1 … ① と推定できる。 hes I
[1] n=1のとき
a1 = -2・1+1= -1
よって, ① は n=1のとき成り立つ。
[2]n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
ak = -2k+1
n=k+1 のとき,与えられた漸化式よりは
-Vaas
ak+1=ak2+2kak-2
=(-2k+1)2+2k(−2k+1)-2
= -2k-1
= −2(k+1)+1
よって,①はn=k+1のときも成り立つ。
[1], [2] より,すべての自然数nに対して,
a = -2n+1 が成り立つ。
{a} は, 初項-1, 公差
-2の等差数列であると
推定される。よって, そ
の一般項 α は
an=-1+(n-1) (2)
= -2n+1
と推定できる。
漸化式に仮定の式を代入
する。
①の右辺に n=k+1を
代入した形になっている
ことを明示する。
