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例題 100 等差数列と等比数列の共通項
数列{an}, {bn}の一般項を αn=3n-1, bn=2" とする。 数列{bn} の項のうち、数
列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cm} を作るとき,数列{ca
重要 93 基本 99
の一般項を求めよ。
重要
指針 2つの等差数列の共通な項の問題 (例題93) と同じように,まず, a=bmとして、lとの
関係を調べるが、それだけでは {cm) の一般項を求めることができない。
そこで,数列{an}, {bn}の項を書き出してみると,次のようになる。
{an}: 2,5,8,11, 14, 17, 20,23,26,29,32,
{bn}: 2,4,8,16,32,
a=bi, C2=bs, Ca=bs となっていることから,数列{bn} を基準として, bm+1 が数列{a.
を順に調べ､規則性を
の項となるかどうか, bm+2 が数列{an}の項となるかどうか,
見つける｡
解答
α=2, b=2であるから
C1=2
数列{an}の第1項が数列{bn}の第m項に等しいとすると
3l-1=2m
ゆえに
6m+1=2m+1=2m・2=(3-1)・2
= 3.21-2
よって, bm+1 は数列{an}の項ではない。
①から bm+2=26m+1=3.41-4
=3(4-1)-1
ゆえに, bm+2 は数列{an}の項である。
したがって
{C}:b1,63,65,
数列{Cn} は公比22の等比数列で, C1 = 2であるから
Cn=2.(22)^-1=22n-1
......
22"=4"=1"≡1(mod3)
[2] m=2n-1(nは自然数) とすると
<3･O-1の形にならない。
22n-1=22(n-1).2=4”-'.2=1"-1.2=2 (mod3)
C₁=
検討 合同式(チャート式基礎からの数学A 参照) を用いた解答
3n-1=-1=2 (mod3) であるから, 2" =2 (mod3) となる m について考える。
[1] m=2n(nは自然数) とすると
などと答えてもよ
[1], [2] より, m=2n-1 (nは自然数) のとき2" が数列{cm}の頃になるから
Cn=b2n-1=22n-1
練習
数列{an},{bn}の一般項をan=15n-2, 6"=7.2"-1 とする｡ 数列{bn}の頭のう
め 100 ち, 数列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{C} を作るとき,
{cm}の一般項を求めよ。
L
(1)
①
