128 数学B 第6章●数
例題110
a=1, an+1=3an-4n で定義される数列の一般項an を求めよ。
bn=an+1- an とおくと,
an+2an+1={3an+1-4(n+1)}-(3an-4n)
=3(an+1-an)-4
bn+1=3bn-4
bn+1−2=3(b-2)
=1+
これを変形すると,
したがって, 数列{bn-2} は ,
初項 bı-2=(a2-a)-2=(3a1-4-a) - 24,公比 3
の等比数列である。
よって, bn-2=-4・3-1 より,
よって,
bn=-4・3-1+2
数列{bn} は{an}の階差数列であるから, n ≧2のとき,
n-1
an=a+2(-43-1+2)
k=1
an+2=3an+1-4(n+1)
an+1=3an-An
−4(3¹−¹−1) -+2(n-1)
3-1
an+2an+1=3(an+1-an)-4
=-2・3"-' +2n+1
a=-2.3°+2・1+1=1 であるから, この式はn=1のときも成り立つ。
an=-2・3"-1+2n+1
これと漸化式 αn+1=3an-4n を比較して
f(n+1)-3f(n)=-4n
a(n+1)+β-3(an+β)=-4n
別解 f(n)=an+β とおき, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} がすべてのnについて成
り立つような定数 α, βの値を求める。
an+1=3an+f(n+1)-3f(n)
-2an+α-2β=-4n
これはnについての恒等式であるから,-2a=-4, α-2=0 より,
α=2, β=1
an+1−{2(n+1)+1}=3{an-(2n+1)}
このとき
したがって, 数列{an-(2n+1)} は,
初項 α-(2・1+1)=- 2,公比3
の等比数列であるから, an-(2n+1)=-2・3-1
よって,
an=-2.3"'+2n+1
発展
