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基本例題 25 方程式の表す図形
次の方程式を満たす点z 全体は,どのような図形か。
|z-2i|=2|z+il
31=20
CHARTO SOLUTION
複素数の絶対値 |z|は|zとして扱う
n|z-a|=m|z-β (mon) の形の方程式は,両辺を2乗して, |z-|=△の
形啼く。 ・・・・・・!!
点の全体は中心が点 半径が▲の円。
その式変形の際は, 共役な複素数の性質
zz= |z|2, a+β=a+B,α-β=α-B を使う。
整理して
よって
mm×30 30枚 ノ-3CATA
別解 1 z=x+yi(x, y は実数) とすることによって, z-2i=22|z +i から
x,yの方程式を導く。
別解2 等式の図形的な意味を考える。
すなわち,次のことを利用する。
「解答」
|z-2i| =2|z+i の両辺を2乗して
|z-2i=22|z+i
よって
(z2i) (z-2i)=4(z+i)(z+i)
ゆえに (z−2i)(2+2i)=4(z+i)(z−i)
両辺を展開すると
m>0,n>0,m≠n とする。
2点A, B からの距離の比がmin
(一定)である点Pの軌跡は,線分
AB を minに内分する点と, 外分
する点を直径の両端とする円 (アポ
ロニウスの円) である (p.40 基本事項 2 解説 参照)。
zz+2iz-2iz+4=4zz4iz+4iz+4
zz-2iz+2iz=0
(z+2i)(z-2i)-4=0
AP:BP=m:n
A
-m.
-n-
p.40 基本事項 ②
B
m-
·lal² =αa
n
■z-2i=z-2i=z+2i
zti=zti=z-i
◆3zz-6iz+6iz=0
←zz+αz+βz