C
不等式への応用
関数f(x) の最小値がmであるとき, 不等式 f(x) ≧mが成り立つ。
このことを利用して, 不等式を証明してみよう。
応用
例題
x0 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。
5
6
x3+43x2
f'(x) =3x2-6x
10
考え方 不等式を変形して, x≧0 のとき (x+4)-3x2≧0 であることを証明
する。 すなわち, x≧0 のとき, 関数 f(x)=(x+4)-3x2の最小値
が0であることを示す。
証明 f(x)=(x3+4)-3x2 とすると
outh
x
0
2
=3x(x-2)
f'(x)
0
+
極小
f'(x) =0 とすると x=0,2
x≧0において, f(x) の増減
表は,右のようになる。
f(x)
4
606
よって, x≧0において,f(x)
は x=2で最小値0をとるから
f(x) ≥0
LA
YA
y=f(x)
異状
すなわち
(x3+4) -3x2≧0
2
x
したがって,x≧0 のとき
x3+43x2
終
足〉 応用例題6で,不等式の等号が成り立つのはx=2のときである。
x≧0 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。
x+3x²+5≧9x
