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+ isin0 とする. このとき,25=
==πとし,複素数zはz=cos0
(イ)
24 +2 +22+2+1=[
cos0+cos20=
である.
(西南
z=1 を満たす(=1の乗根) 2-1 を因数分解すると,
z"-1=(z-1)(zn-1+zn-2+..+2+1)
となるから, z=1のときz=1ならば,2"-1+zn-2++z+1=0を満たす.
次に,ドモアブルの定理を用いて, z=1 を解いてみよう. z=1により
|z|=|z"|=1であるから, |z|=1であり, z=cos+isin0 (0≦02) と
おける. ドモアブルの定理により, z” を計算する.
z"=1のとき, Cosn0+isinn0=1 ∴cosn0=1, sinn0=0
:n0=2xk(0≦x<2m×nにより, k = 0, 1, 2,…, n-1)
Z3
Z2
ZA
0を求め,1の”乗根は,Z=cos (2xk) +isin (2xk) (k=0, 1, 2,…, n-1)の
点は,図のように点1を1つの頂点とする正角形のn個の頂点になっている
なお,25=1のz=1以外の解の1つをα とすると, 25=1の1以外の4解がα,2,3,
とから(詳しくは演習題の研究), 5-1=(z-1) (z-α) (z-a2) (z-03) (z-α4)
(za)(za)(za)(z-α4)=z4+2+2+2+1:
が成り立つ
解答
(ア)-1=0により, (α-1) (α+α3+α²+α+1)=0
α=1のときA=24=16 である. 以下, α≠1のときとする.
α5=1のとき,=d3=3であるから,
A=(1+α)(1+α²)(1+α)(1+α3)=(1+a2+α+α3)(1+α+α+α7 )
=(1+a+a²+a³)(1+a³+aª+a²) (:_a³=1K £}a²=a²)
α≠1と① により, 1+α+α²+α3+α^=0 ②であるから,
A=(-a)(-a)=a³=1
(イ)z"=cosn0+isinn0 であり, 50=2π......② であるから,
25=cos2+isin2=1
よって, 2-1=0であるから, (z-1) (24+2+2+2+1)= 0
z≠1により,+2+2+2+1=0
これに①を代入する.実部=0であるから,
cos 40+ cos30+cos20+cos0+1=0
②から,cos40=cos(2-0)=cosb,cos30=cos(2π-20)=cos20
よって, 2cos0+2cos20+1 = 0
①A を (ひとま
ず) 展開すると
1+α+α2+...
ここでα=1を
1+α+α2+
+ (1+α+α2+
+ (1+α+α²+
となるので, α≠
A=1
■前文のに=-]
(-1-a)(-1-a
=1-1+1-1+1
α8=α3 なので, 左
22,
21
+72°
cos0+cos20=--
1
2
5 演習題 解答は
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