例題
4
a b を0以上の実数とする。 直線 l : y=ax+b と曲線
C:y=|x (2-x)| がちょうど3個の共有点をもつとき, a, b の条件を
求めよ。
[類 09 九州工大〕
指針 y=f(x), y=g(x)のグラフの共有点の個数 方程式 f(x)=g(x) の実数解の個
数を求める。(2次方程式なら判別式の利用。) またはグラフを利用する。
解答 曲線はx<0, 2<x のとき y=x²-2x
y=ax
y=-x+2x
e
0≦x≦2 のとき
y=-x+2x
[1] b=0 の場合
Yax
直線lの方程式は
y=ax
y=
x=0 における y=-x+2xの接線の傾きは2で
e
[2]
あるから、求める条件は
0<a<2
Y-
[2] 6>0 の場合
[1] fyz-21
2
x
直線lと曲線Cが共有点を3個もつのは, 直線 l と曲線 y=-x2+2x が
0<x<2の範囲で接するときである。
2-a
ax+b=-x2+2x とすると
x²+(a-2)x+6=0
直線 l と曲線 y=-x2+2x が 0<x<2 の範囲で接する条件は,この方程式の
判別式について D=0 かつ,そのときの重解x について
0x2
2-a
すなわち
(a-2)2-46=0 かつく
<2
2
よって
α-2)=46 かつ-2<a<2
a≧0, b>0であるから, 求める条件は (α-2)²=46 かつ 0≦a<2
[1] [2] より 「b=0 かつ 0<a<2」 または 「(a-2)=46 かつ 0≦a <2
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