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重要例退
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
[類慶応大)
a」=1, an+1=2an?
基本104
CHARTO
OLUTION
漸化式 an+1=ロa,? 対数をとる
a,?の処理として, 漸化式の両辺の対数(底は c, 0<c<1 または ]<a
をとり,log.an+1 と logeanの関係式を作る。
この例題では an?の係数2に注目して, 底が2の対数を考える。その際
(真数)>0 の条件に注意する。
inf. anan+1 のような積の形で表された漸化式にも「対数をとる」の方法は有効。
log.anan+1=log.can+logcQn+1 となり, logcan と log.an+1 の関係式を導くこし
ができる。ただし, すべてのnについて an>0 の確認が必要。
●a
解答
a=1>0, および漸化式の形から,すべての自然数nに対して
an>0 となる。
与えられた漸化式の両辺の2を底とする対数をとると
log2an+1=log22an?
log2 2a,=1og22+log2a,°=2log2an+1
-すべての自然数nに対
して an+1>0, 2a?>0
すなわち,(真数)>0 の
一 条件を満たしている。
まち出
ここで
よって
log2an+1=21og2Qn+1
bn=log2an とおくと
変形して
るち出(東 ー 8日回
1 0,0さケ
bn+1=26n+1
bn+1+1=2(bn+1)
α=2α+1 を解くと
b」=log2ai=0 であるから
b.+1=1
D+
Q=-1
ゆえに,数列{bn+1} は, 初項1, 公比2の等比数列となり
bn+1=2"-1 すなわち bn=2"-1_1
an=20n=22"-1-1
別解 a=1, az=2a?=2', as=2a:?=2'+2,
a4=2a°=2-(2'+2)2=2'+2+4,
as=2a°=2·(21+2+4)2=2'+2+4+8
よって
Tal
=2"-1-1 と予想される。
に、原積比は
+27-2
よって,an=2'+2+4+8+…
このとき a=22°-1 =1
2"-1_1
-=2"-1_1
2-1
三
an+1-2a,?=22"ー1 _2-22"-2=2**-1_2"-1=0
与えられた条件を満たすから, 求める一般項は a,=2""-1-1
予想が正しいことを証
