数学的機能法の問題だとn＝1だけを使うものが多いと思うんですが、この問題みたいに n＝1、2の２つ使う時のはどうしてですか？どういう考えで２つ使おうと思いつくんですか？

立つ. 【解答】 D (I) とおくとき すべての自然数nについて, x+y=2a, xy=26 (a,b) P(n): x+y" は偶数である が成り立つことを数学的帰納法で示す。 [I] n=1, 2 のとき, x+y=2a, 1+1=1Jx² x+y=(x+y)²-2xy=2(2a²-2b) であるから, x+y, r'+g はともに偶数となり,P(1), P (2) は成り立つ。 [I]P(k),P(k+1) (k≧1) がともに成り立つと仮定すると, xk+yk=2M, xk+1+gk+1=2N この形ほしい を満たす整数 M, N が存在する このとき (xck+iy+xy+) いらない分ひく zk+2+yk+2=(x+y) (zck+1+yk+1)-xy(z+y^) =2a・2N-26・2M=2(2aN-26M) であるから,xk+2+yk+2は偶数となり,P(k+2) も成り立つ。 [1],[Ⅱ]より, すべての自然数nについてP(n) は成り立つ. 2) z=1+v3, y=1-v3 のとき, x, y はともに整数でない実数であり、 はともに偶数となる. ...① x+y=2,xy=-2 よって求める (x,y) の例の1つは、 (x,y)=(1+√3, 1-√3). イト

数Ⅲの極限の問題です。 (1)の解答の波線｢帰納法で〜がいえる.｣のくだりについて、帰納法がどのような内容になるのかがわからず、教えていただきたいです🙇‍♀️

20-0 以下で Xn, am を含む式はn = 1, 2,... で成り立つものと する. (1) Xn+1= 2xn+ 示し 2.xn Xn+1-√a≤ (xn-√a) a >√a (a>0) のとき,XnVaを を示せ. 〔名古屋大 〕 (2) a₁ = 2, an+1 = an +2 のとき,an>1を示し an+1 |an+1-√2|≤ √21|an - √2| を示せ. (3) 0 < a₁ ≤ 1 , an+1= 2 [徳島大〕 2am(1 - am) のとき, 0 < an≦1/12 an ≦ an+1 を示し lim an 848 = を示せ. 2 〔三重大〕 《方針》 次の原則 (例外はあります) 漸化式で定義された数列の一般項についての証明 ⇒ 帰納法 に従います。 以下ではいちいち明記しませんが, 帰納法を何度も用いていま す。また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです. Xn+1-Va= から 《 解答》(1) x1 > √a と 2xn xn><a= ⇒Xn+1>√a がいえるので、帰納法でxn>√(n=1,2, ...) がいえる. 次に③から xn2+a-2√axn=(xn-va)2 2xn Xn+1- √a= 1Xn-va 2 (xn−√a) Xn であり、ここで 0< Xn-√a =1- Xn Va xn ≤1 だから

例題75.2 私が書いた波線部は、y以外は◯回微分を( ◯ )というふうに書かないからd/dxのk乗というふうに書いているのですか？？

2 基本 例題 75 第n 次導関数を求める (1) nπ (1) y=sin2x のとき,y)=2"sin(2x+ 2 nを自然数とする。 00000 sin(x+ であることを証明せよ。 /p.129 基本事項 重要 76, p.135 参考事項 (2) y=x”の第n 次導関数を求めよ。 指針 yan) は,yの第n次導関数のことである。そして,自然数nについての問題である から, 自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める。 (2)では, n=1,2,3の場合を調べてy() を推測し,数学的帰納法で証明する。 注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学B) [1] n=1のとき成り立つことを示す。 n=k+1のときも成り立つことを示す。 =kのとき成り立つと仮定し, [2] nπ (1)y(n)=2"sin2x+ 2 ① とする。 解答 [1] n=1のとき y'=2cos2x=2sin2x+ トル)であるから,①は成り立つ。 kл [2]n=k のとき,①が成り立つと仮定すると y = 2* sin(2x+ n=k+1のときを考えると,②の両辺をxで微分して d 2 kл _y(k)=2k+1cos2x+ ( D dx 2 ゆえに yk2'''sin(2x++1)=2*+sin{2x+(k+1)x} よって;n=k+1のときも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 (2) n=1,2,3のとき,順に _y'=x'=1,y"=(x2)"=(2x)'=2・1,y" = (x3)"=3(x2)"=3・2・1 したがって,y(n)=n! ...... ① と推測できる。 [1] n=1のとき y=1! であるから, ① は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると y(k)=k! すなわち dk dxkx*=k! →(ス n=k+1のときを考えると, y=xk+1 で, (x+1)'=(k+1)xであるから dk k+ dk (d²xx*+1) = d² * ((k+1)x^} dockdx y (k+1)=- =(k+1)- dk dxk /dxkx=(k+1)k!=(k+1)! よって, n=k+1のときも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立ち 次の関数の第n次導関数を求めよ (2) y=^ y(n)=n!

数学的帰納法を用いた証明問題です わかる方教えてください

(2) nは自然数とする。 22+6n-1は9の倍数であることを, 数学的帰納法を用いて証明せよ。

数学的帰納法の不等式の証明問題です↓。 間違っているところ、または直した方がいいところありましたら指摘よろしくお願いします

数学的帰納法く不等式) 212) 1+1/+1/3 (8) ★指釘☆ 2n + ++ n n+1 ①ゴールch=41のこそ)をすみっこに書いておと。 ③ゴールがADBを示したいんだとしたら、 最初から A-Bを計算してい 偶然A-B70になっちゃった感を笑う。 ② 解法 KR32 > 24 --you ② h 2 htl け CIO hz lazz 441 ? (左)= (右辺)= 21 (+1 =12秒②は成り立つ。 [3] ho ha zz, H + + 14 ? この2 = こ 24 hal しい 2014+1) 2h hel face f 2h41 The I h+2 ☐ 2C2+D hel he 2 - 2412 hez 242+46112-(2*22282) (211) (212) (21)) (412) Jus 「 H計stw ht 271 N したがってんこhtlのときも②は成り立つの 2(h41) は成り立つ 臼め、全ての自然取んにおいて ②はり立つ 2(her ht2

n=k+1のときを考えると〜 以降の計算の仕方がわかりません。 教えていただきたいです🙇‍♀️

納 基本 例題 55 等式の証明 が自然数のとき,数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 1・1!+2・2! + ･･･...+n.n!=(n+1)!-1 指針 ① 数学的帰納法による証明は, 前ページの例のように次の手順で示す。 [1] n=1のときを証明。 [2]n=kのときに成り立つという仮定のもとで, +1のときも成り立つことを証明。 [1] [2] から, すべての自然数nで成り立つ。 出発点 ←まとめ 00 49 [類 早稲田大〕 p.498 基本事項 1 [2]においては,n=kのとき①が成り立つと仮定した等式を使って,①のn=k+1 のときの左辺 1・1!+2・2!+....+k•k!+(k+1)(k+1)! が,右辺 {(k+1)+1}!-Iに 等しくなることを示す。 また,結論を忘れずに書くこと。 [1] n=1のとき 注意 検討 (左辺) = 1.1!=1, (右辺) = (1+1)!-1=1 よって,①は成り立つ。が成り立つと [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 1.1!+2.2!+ ·+k•k!=(k+1)!-1 n=k+1のときを考えると,② から 1·1!+2•2!+…………….+k•k!+(k+1)·(k+1)! =(k+1)!-1+(k+1) ・(k+1)! ={1+(k+1)}(k+1)!-1 =(k+2)・(k+1)!-1=(k+2)!-1 ={(k+1)+1}!-1 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 は数学的帰納法 の決まり文句。 答案ではき ちんと書くようにしよう。 kは自然数(k≧1)。 ①でn=kとおいたもの。 n=k+1のときの① の 左辺。 n=k+1のときの① の 右辺。 [1][2]から、すべての自然数nについて①は成り立つ。結論を書くこと。 数学的帰納法では, 仕組み (流れ)をしっかりつかむようにしよう (指針の [1], [2])。 なお, [1]でn=1の証明が終わったと考えて, [2] でn=kの仮定を k≧2 としてしまって は誤りである。 注意するようにしよう。

3かける3のK乗になってるのはなんでですか🙇‍♂️

日本 例題 45 数学的帰納法と式の証明 nが自然数のとき,数学的帰納法によって、次の等式 00000 1+3+32 +....+3"-1=1 2 (3-1) を証明せよ。 数学的帰納法 (基本) CHART & SOLUTION Op. 420 基本事項 1章 5 [1] n=1のときを証明 [2]nkのときを仮定し,n=k+1のときを証明 等式を証明するのであるから,左辺, 右辺それぞれを計算して, 両者が等しいと結論する。 または,左辺 (または右辺) を変形して, 右辺 (または左辺) を導く。 解答 [1] n=1 のとき (左辺)=1,(右辺 = 1/12(3-1)=1 ゆえに、 ① は成り立つ。 [2] n=k のとき ①が成り立つと仮定すると 1+3+3²+…......+3*−1=(3-1) +1 の場合を考えると ・・・・・・② ① に n=k を代入。 (*) 数学的帰納法 ②から1+3+3+3+3=1/12 (3-1)+3* 2 =1/12 (331) =1/12 (11) よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1] [2] から すべての自然数nについて等式①は成り立つ。 ①の左辺のnをk+1と して,に②を代入。 1/12(3-1)は、①の右 辺に n=k+1 を代入し 式。

丸をつけたところがなぜ正だとわかるのかわかりません。教えてください🙏

8 数学的帰納法 (II) nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を 伺いて証明せよ。 ) 1²+2²+ ··· +n² = — —½n(n+1)(2n+1)………………….①℗ 1+ 1 1 3 1 + ・+・・・+ n 2n n+1 (2) i) n=1のとき 左辺 = 1, 右辺 = 2.1 1+1 -=1 となり, n=1のとき②は成立する. ii) n=k のとき, ② が成立すると仮定すると 1+ 2 ++ 1 1 2k +・・・+ M ......②' kk+1 eɛ1 ②' の両辺に 1 を加えると k+1 左辺を証明したい式 2 左辺 =1+1/+1/3+..+/+/ath にする +・・・+ kk+1 2k 1 2k+1 右辺 = + k+1 k+1 k+1 2(k+1) k k+1 k+2 ->0 (k+1)(k+2) <ここがポイント 1 1+ ・+・・・+ 1 2k+12(k+1) 2 k+1 k+1 k+2 すなわち, 1+1/2 1 2(k+1) +・・・+ k+1 k+2 手順は 37 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1のとき の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に 違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解答 i) n=1のとき 左辺=1,右辺 = 1/2・1・2・3=1 よって, n=1のとき, ① は成立する. ) n=kのとき 12+2+... +k^= = k(k+1)(2k+1)..... ここで, 2k+1 が成立すると仮定する. ①の両辺に(k+1)2 を加えて 左辺 =12+22+..+k²+(k+1)2 右辺 = 1/2k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 ◆左辺に, 12+22+... +k²+(k+1)2 を作ることを考える -1/2 (k+1){(2k+k)+6(k+1)} =- =1/2 (k+1)(x+2)(2k+3) これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである. よって, ① は n=k+1 でも成立する. ゴ), ii)より, ① はすべての自然数nについて成立する. これは, ② に n=k+1 を代入したものである. よって, n=k+1 でも②は成立する. i), ii)より, すべての自然数nについて ② は成立する. ポイント 数学的帰納法を使って証明するとき, n=k のときを 仮定したら, n=k+1 のときを計算用紙に書いてお 2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき 作業を決める 演習問題 138 nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を用 いて証明せよ. 1 +・・・+ 1-2 + 2-3++ (n+1)+1 (1) 1 1 (2) + + 22 + 32 + +.... 1 ≦2- n

なぜ黄色の部分がk^2になるのかが分かりません！誰か教えてくださると嬉しいです！よろしくお願いいたします🙇

数学的帰納法による等式の証明 』を自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 1+3+5+･･･+ (2n-1) = n² 視点 19ページでは①が成り立つことを,図や等差数列の和の公式を利用して考 えた。数学的帰納法を用いることでも ①を証明できるだろうか。 証明 [1] n=1のとき (左辺) = 1 (右辺) = 12=1 よって、 ① は n=1のとき成り立つ。 [2] ① が n=kのとき成り立つ,すなわち 1 +3+5+ ･･･+(2k-1)=k と仮定して, n=k+1 のとき ①が成り立つことを示す。 n=k+1 のとき,①の左辺を ② を用いて変形すると = 1 +3 +5 + ･･･ +(2k-1)+{2(k+1)-1} = k + (2k+1) = (k+1)2 n=k+1 のとき, ①の右辺は (k+1) よって, ① は n = k+1のときにも成り立つ。 [1], [2] より すべての自然数nについて ①が成り立つ。 弘法を用

数学Bの漸化式と数学的帰納法のとこです。 数列｛α_n｝が α_1=4, α_n+1=3α_n－5 (n=1,2,3,…)で定められるとき、第5項を求めなさい。 という問題です。計算過程も教えていただけたら嬉しいです。とても苦手なのでできるだけ簡単に教えていただけると幸... 続きを読む

¥234 {an}. が A₁ = 4, An+1=3An-5 (n=1,2,3..) で定められるとき、第5項を 求めなさい