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基本 例題 271 断面積と立体の体積(2)東面 ○○○○
底面の半径 α, 高さの直円柱をその軸を含む平面で切って得られる半円柱があ
ある。底面の半円の直径を AB, 上面の半円の弧の中点をCとして, 3点 A, B, C
を通る平面でこの半円柱を2つに分けるとき,その下側の立体の体積Vを求め
O
よ。
基本 270
重要 281 282 285
指針基本例題 270と同様立体の体積 断面積をつかむ夢と。
立
の方針で進める。
図のように座標軸をとったとき、題意の立体は図の青い部分
であるが,この断面積を考えるとき, 切り方によってその切
り口の図形が変わってくる。
[1] x軸に垂直な平面で切る
[2] y 軸に垂直な平面で切る
は
!
切り口は直角三角形
切り口は長方形
料金
B
[3] 軸に垂直な平面で切る
(底面に平行な平面で切る )
ここでは, [1] の方針で進める ([2], [3] の方針は 検討 参照)。
nie
y=(x), y=g(x) [S(x) /
切り口は円の一部
a
a
A
うるす
解答
図のように座標軸をとり, 各点を定める。
x軸上の点D(x, 0) を通り, x軸に垂直
な平面による切り口は直角三角形 DEF
である。
F
-a
E
y
a
いときは、
B
H
a
このとき, △DEF∽△OHCであり
0
-IDE:OH=√d-x : a
|x|
a
A
x
ゆえに、切り口の面積をS(x) とすると
200S(x):△OHC= (√a-x2)2:29
よって S(x)=2
a-x2ab_ b
(a²-x²)
2a
対称性から、 求める立体の体積Vは
ab
DEF=∠OHC=-
$ 200 ZFDE=ZCOH
線分比がα:b
21
⇒面積比はα:b2
=ab
AOHC=ab
v=25s(x)dx=2S02/27(a-x)dxv=S_s(x)dx
=
---
2
= a²b
a
3
ー
=2f(x)dx
