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基本 例題 15 複利計算
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年利率r, 1年ごとの複利での計算とするとき, 次のものを求めよ。
年度末の元利合計[SA
(1) n 年後の元利合計をS円にするときの元金T円
(2)毎年度初めにP円ずつ積立貯金するときの, n
求めよ。
指針 「1年ごとの複利で計算する」 とは, 1年ごとに利息を元金に繰り入れて利息を計算す
ことをいう。 複利計算では,期末ごとの元金, 利息, 元利合計を順々に書き出して
るとよい。 元金をP円, 年利率をとすると
...
合計P(1+r)
合計 P(1+r)2
未
解答
(1) 1年後
元金P,
利息 Pr
2年後
-
元金 P ( 1+r),
3年後
元金P(1+r) 2,
利息 P(1+r).r
利息 P (1+r) 2.y
合計 P(1+2 ) 3
n年後
・元金P(1+r) "-1, 利息 P(1+r)"-1.r
合計P(1+r)"
(2)例えば,3年度末にいくらになるかを考えると
1年度末 2 年度末
3 年度末
1年目の積み立て P → P(1+r) → P(1+r)² → P(1+r)³
2年目の積み立て･･･ P → P(1+r) → P(1+r) 2
→
3年目の積み立て··· P
→
P(1+r)
したがって, 3年度末の元利合計は
P(1+r)³+P(1+r)²+P(1+r)
・等比数列の和。
(1) 元金T円のn年後の元利合計はT(1+r)" 円であるから
T(1+r)"=S
よって
T=_S
(1+r)" S
(2)毎年度初めの元金は、1年ごとに利息がついて (1+r) 倍となる。
よって, n 年度末には,
1年度初めのP円はP(1+r)" 円,
2年度初めのP円はP(1+r) 円
1-1
n年度初めのP円はP(1+r) 円
になる。
したがって, 求める元利合計 S は
Sn=P(1+r)"+P(1+r)"'+......+P(1+r)
=
P(1+r){(1+r)"-1}
(1+r)-1
P(1+r){(1+r)"-1}
=
(円)
r
右端を初項と考えると、
S” は初項P(1+r),
1+r, 項数nの等比較
の和である。
