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●7 実数解の個数/定数項以外に文字定数
関数/(z)=arー(a+3)ェ+a+3について、 次の問いに答えよ、 ただし、 aは0でない実数とする。
(1)F(z)の導関数をf(x)とする。 rの方程式(x)=0が実数解をもつようなaの範囲を求
め、またそのときの実数解をすべて求めよ。
(2)ェの方程式S(z)30 が3個の異なる実数解をもつようなaの範囲を求めよ。
の方程式
のと
『(a)f(B)の正負で解の個数がわかる)3次関数yー/(x)が、 エ=a, Bで極値を持つとき。
『(a)S(B)が、正, 0, 負のどれであるかによって,「(x)30 0 の解の個数が分かる。
(i)/(a)S(B) <0 →(a)とS(B)は異符号 [S(a)S(B) <0なら,a+8)
(i)f(a)f(B)=0 →(a)=0 または「(B)=0
()f(a)S(B)>0→(a)とS(B)は同符号
であることに注意すれば、(i)~( )のグラフは、((x)のrの係数が正とする)
(宮城教大)
の範囲を
のふるま
式の解に
この間題の
にする。
AdinhA
3。
)=0と
となる。実数解の個数は、グラフとェ軸の共有点の個数なので、①の実数解は、
(i)のとき3個
(i)のとき2個
)のグ
(出)のとき1個
■解答
aの
(1)(x)=3ar"-(a+3) であり, aキ0, f"(z)=0より。
a>0)。
F)と
の範理
図よ
+に
にで、
タ+3
右辺が非負のとき、エ=±
3a
左辺は、a>0のとき正なので、
0>a>-3のときは負,-3>a
のときは正となる。
|a+3
a+3、
3a
V
(=±y)とおく。
3a
20. この左辺は,a=0, -3の前後で符号変化し,aS-3, 0<くa… 0
が成り立だなければならないから,以下ドのの下で考える。
f(z)=0が3個の異なる実数解を持つ→(y)f(-y)<0
(z)を(z)で割ると, 商一,余り -(a+3)x+a+3となるので
やf(y)(-y)<0ならば、
アキーyなので,ェ=Y, -yで極
a+
(a)=(a)-(a+3)ェ+a+3. これにューッを代入して、
値を持つ。
こで
バ)ー)-+3e+3=(-号)(a)
ので
やp.14で紹介した「次数下げ」
よって
同様にして、(-r)=
F
やf(y)=0
バフ)(ー)-(-り)(0+3(1 )
a=-3のとき(y)f(-y)=0で不適であり,(a+3)>0に注意すると、
f(y)S(-y)<0
4 a+3
23a-12
9
3a
12
27』
07 演習題(解答は p.127)
23
12
23
0
aは実数とする。3次方程式+3ar"+3ar+a=0 の異なる実数解の個数は, 定数α
の値によってどのように変わるかを調べよ。
極値の積の正負を調べ
る。
120
(横浜市大·理系)
