基本例題227 導関数 接線の傾きから関数決定
(1) f'(x)=3x2-2x, f(2) = 0 を満たす関数 f(x) を求めよ。
(2) 曲線 y=f(x) が点 (1, 0) を通り, 更に点 (x, f(x)) における接線の傾き
2-1であるとき, f(x) を求めよ。
指針▷ 導関数がわかっているとき,もとの関数を求めるのが積分である。つまり
f(x)=f'(x)dx
(1) f(x)=f(x)dx=f(x-2x)dx=x-x+C
積分定数 C は f(2)=0の条件で決まる。 このような積分定数の値を決定する条件のこ
/d=x√(x)] +//
とを初期条件という。
f(x)=x2-1
+A
(2) 曲線 y=f(x) 上の点 (x, f(x)) における接線の傾きは
C
f(x)=f'(x)dx=f(x-1)dx
したがって
また, 曲線 y=f(x) は点 (10) を通るから
解答
(1) f'(x)=3x2-2x であるから
!!
f(x)=f'(x)dx=Ş(3x²-2x)dx=x-x+C
2043
f (2) = 0 であるから
これを解いて
したがって
f(x)=x-x-4
(2) 曲線 y=f(x) 上の点(x, f(x)) における接線の傾きは
f'(x) であるから
f'(x)=x2-1
f(x)=f'(x)dx=f(x2-1)dx
したがって
ゆえに
したがって
また, 曲線 y=f(x) は, 点 (1, 0) を通るから
ƒ(1)=0
-1+C=0
1
3
8-4+C=0
C=-4
f(x)=
(1600)
-x+C (Cは積分定数)
3
3
f(1)=0 初期条件
(Cは積分定数)
ROVED
-x+
2
3
よってc=1/23
C=
一
検討
一般に,f'(x) の不定積分は
無数にあるが、 定数だけ
違わない。
よって,(1) (2)=0 のよう
な条件が与えられると、
定数Cの値が定まる。
(2)
基本226
接線の傾きが-1で与
えられる曲線は無数にある
そのうち点 (10)
ものはただ1つに定まる。
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C=1
C=0
0
